Областная олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс

Найти все функции $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ удовлетворяющие при всех $x,y\in \mathbb{R}$ условию $f\left( xf(x)+f(y) \right)={{x}^{2}}+y.$

Комментарий/решение

Ответ: $f(x)=x; f(x)=-x.$

Решение. Пусть $P(x,y)$ означает $f(xf(x)+f(y))=x^2+y.$

Рассмотрим подстановку $P(0,x)$. Получим $\forall x∈\mathbb{R}$

$$f(f(x))=x.$$

Отсюда следует, что функция $f$ сюръективна.

Допустим, что $f(a)=f(b),$ тогда $f(f(a))=f(f(b)) \Leftrightarrow a=b$. Значит, функция $f $ инъективна.

Сделаем подстановку $P(f(x),y)$. Тогда $\forall x,y∈\mathbb{R}$

$$f(f(x)x+f(y))=(f(x))^2+y.$$

Сравнивая последнее равенство с исходным, получим $\forall x,y∈\mathbb{R}$

$$x^2+y=(f(x))^2+y \Leftrightarrow x^2=(f(x))^2. $$

В частности, $(f(1))^2=1.$

Случай 1. Пусть $f(1)=1.$ После подстановки $P(1,x)$ имеем \forall x∈\mathbb{R}$

$$f(1+f(x))=1+x.$$

Далее, $\forall x∈\mathbb{R}$

$$1+2x+x^2=(1+x)^2=(f(1+f(x)))^2=(1+f(x))^2=1+2f(x)+(f(x))^2=1+2f(x)+x^2.$$

Из последнего равенства заключаем, что $\forall x∈\mathbb{R}$

$$f(x)=x.$$

Проверкой нетрудно убедиться, что функция $f(x)=x$ удовлетворяет условию задачи.

Случай 2. Пусть$ f(1)=-1$. Сделаем подстановку $P(1,x).$ Получим $\forall x∈\mathbb{R}$

$$f(-1+f(x))=1+x.$$

Далее,

$$1+2x+x^2=(1+x)^2=(f(-1+f(x)))^2=(-1+f(x))^2=1-2f(x)+(f(x))^2=1-2f(x)+x^2.$$

Отсюда заключаем, что $\forall x∈\mathbb{R}$

$$f(x)=-x.$$

Проверкой нетрудно убедиться, что функция $f(x)=-x$ также удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $f(x) = \pm x$

Обозначим $P(x,y)$ за подстановку: $f(xf(x)+f(y)) = x^2 + y$

$P(0,y): f(f(y)) = y \, (\forall y \in \mathbb{R}) \Leftrightarrow f \, - $ биективна.

$P(f(x),y): f(xf(x)+f(y)) = f(x)^2 + y = x^2 + y \Leftrightarrow f(x)^2 = x^2 \Leftrightarrow f(x) = \pm x$

Избавимся от случаев, когда существуют решения, когда знак f(x) является либо только плюсом, либо только минусом.

Пусть $a,b \in \mathbb{R}$, такие что их модули $> 0 $, и $f(a) = +a, f(b) = -b$.

$P(a,b): f(a^2 - b) = a^2 + b = \pm (a^2 - b)$, откуда либо $b = 0$, либо $a = 0$, что противоречит условиям выбора $a,b$.

Остается лишь заметить, что решение $f(x) = \pm x$ удовлетворяет заданной функции.