Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс


Найти все функции f:RR удовлетворяющие при всех x,yR условию f(xf(x)+f(y))=x2+y.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2 | Модератормен тексерілді
7 года 3 месяца назад #

Ответ: f(x)=x;f(x)=x.

Решение. Пусть P(x,y) означает f(xf(x)+f(y))=x2+y.

Рассмотрим подстановку P(0,x). Получим xR

f(f(x))=x.

Отсюда следует, что функция f сюръективна.

Допустим, что f(a)=f(b), тогда f(f(a))=f(f(b))a=b. Значит, функция f инъективна.

Сделаем подстановку P(f(x),y). Тогда x,yR

f(f(x)x+f(y))=(f(x))2+y.

Сравнивая последнее равенство с исходным, получим x,yR

x2+y=(f(x))2+yx2=(f(x))2.

В частности, (f(1))2=1.

Случай 1. Пусть f(1)=1. После подстановки P(1,x) имеем \forall x∈\mathbb{R}$

f(1+f(x))=1+x.

Далее, xR

1+2x+x2=(1+x)2=(f(1+f(x)))2=(1+f(x))2=1+2f(x)+(f(x))2=1+2f(x)+x2.

Из последнего равенства заключаем, что xR

f(x)=x.

Проверкой нетрудно убедиться, что функция f(x)=x удовлетворяет условию задачи.

Случай 2. Пустьf(1)=1. Сделаем подстановку P(1,x). Получим xR

f(1+f(x))=1+x.

Далее,

1+2x+x2=(1+x)2=(f(1+f(x)))2=(1+f(x))2=12f(x)+(f(x))2=12f(x)+x2.

Отсюда заключаем, что xR

f(x)=x.

Проверкой нетрудно убедиться, что функция f(x)=x также удовлетворяет условию задачи.

  2
2 года 2 месяца назад #

Ответ: f(x)=±x

Обозначим P(x,y) за подстановку: f(xf(x)+f(y))=x2+y

P(0,y):f(f(y))=y(yR)f биективна.

P(f(x),y):f(xf(x)+f(y))=f(x)2+y=x2+yf(x)2=x2f(x)=±x

Избавимся от случаев, когда существуют решения, когда знак f(x) является либо только плюсом, либо только минусом.

Пусть a,bR, такие что их модули >0, и f(a)=+a,f(b)=b.

P(a,b):f(a2b)=a2+b=±(a2b), откуда либо b=0, либо a=0, что противоречит условиям выбора a,b.

Остается лишь заметить, что решение f(x)=±x удовлетворяет заданной функции.