Областная олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Ответ: f(x)=x;f(x)=−x.
Решение. Пусть P(x,y) означает f(xf(x)+f(y))=x2+y.
Рассмотрим подстановку P(0,x). Получим ∀x∈R
f(f(x))=x.
Отсюда следует, что функция f сюръективна.
Допустим, что f(a)=f(b), тогда f(f(a))=f(f(b))⇔a=b. Значит, функция f инъективна.
Сделаем подстановку P(f(x),y). Тогда ∀x,y∈R
f(f(x)x+f(y))=(f(x))2+y.
Сравнивая последнее равенство с исходным, получим ∀x,y∈R
x2+y=(f(x))2+y⇔x2=(f(x))2.
В частности, (f(1))2=1.
Случай 1. Пусть f(1)=1. После подстановки P(1,x) имеем \forall x∈\mathbb{R}$
f(1+f(x))=1+x.
Далее, ∀x∈R
1+2x+x2=(1+x)2=(f(1+f(x)))2=(1+f(x))2=1+2f(x)+(f(x))2=1+2f(x)+x2.
Из последнего равенства заключаем, что ∀x∈R
f(x)=x.
Проверкой нетрудно убедиться, что функция f(x)=x удовлетворяет условию задачи.
Случай 2. Пустьf(1)=−1. Сделаем подстановку P(1,x). Получим ∀x∈R
f(−1+f(x))=1+x.
Далее,
1+2x+x2=(1+x)2=(f(−1+f(x)))2=(−1+f(x))2=1−2f(x)+(f(x))2=1−2f(x)+x2.
Отсюда заключаем, что ∀x∈R
f(x)=−x.
Проверкой нетрудно убедиться, что функция f(x)=−x также удовлетворяет условию задачи.
Ответ: f(x)=±x
Обозначим P(x,y) за подстановку: f(xf(x)+f(y))=x2+y
P(0,y):f(f(y))=y(∀y∈R)⇔f− биективна.
P(f(x),y):f(xf(x)+f(y))=f(x)2+y=x2+y⇔f(x)2=x2⇔f(x)=±x
Избавимся от случаев, когда существуют решения, когда знак f(x) является либо только плюсом, либо только минусом.
Пусть a,b∈R, такие что их модули >0, и f(a)=+a,f(b)=−b.
P(a,b):f(a2−b)=a2+b=±(a2−b), откуда либо b=0, либо a=0, что противоречит условиям выбора a,b.
Остается лишь заметить, что решение f(x)=±x удовлетворяет заданной функции.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.