Областная олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Добрый день! Можете, пожалуйста, подсказать, почему вы выбрали именно центры диагоналей AC и BD, для того чтобы определить принадлежность всех точек к окружности OXY? Как додуматься до того, чтобы выбрать именно эти точки и в чем логика этого выбора? Буду очень признателен вам, если вы соизволите ответить на мой вопрос!
Широко известно, что N это точка Микеля для прямых AC,BD,AD,BC. Из этого следует подобие △NDB≡NAC. Тогда ясно, что если X,Y соответственные точки на сторонах AC,DB, то OXNY вписанный. А дальше рассматривая остальные точки Микеля легко угадывается, что X,Y можно выбрать как середины сторон.
Вообще, когда даны симметричные точки на отрезке, то иногда бывает удобно рассмотреть середину этого отрезка для работы с данными точками.
Лемма:
Рассмотрим угол ROS и две пары точек R1, R2 на OR; S1, S2 на OS, такие что S это середина S1S2, R середина R1R2.
Рассмотрим поворотную гомотетию, переводящую R1R в S1S. Ее центр лежит на (ROS)∩(R1OS1). Рассмотрим поворотную гомотетию, переводящую R2R в S2S. ее центр лежит на (ROS)∩(R2OS2). Но это очевидно, одна и та же поворотная гомотетия, а значит это одна и та же точка. Т.е (R2OS2)∩(R1OS1)∈(ROS) независимо от выбора точек R1,S1,R2,S2.
Пусть E - Середина AC, F - середина BD в исходной задаче.
Теперь рассмотрим угол, образованный диагоналями и применим лемму, в качестве R и S возьмем E и F. Теперь, рассматривая четверки точек
A,C;B,D
C,A;B,D
A1,C1;B1,D1
C1,A1,B1,D1
в качестве R1,R2,S1,S2 и соответствующие окружности и центры поворотных гомотетий в лемме, получаем что все 4 точки лежат на (OEF), а это и есть точки M,N,P,Q из условия.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.