Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс


Диагонали AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Точки A1,B1,C1 и D1 выбраны соответственно на отрезках AO,BO,CO и DO так, что AA1=CC1, BB1=DD1. Пусть описанные окружности треугольников AOD и BOC второй раз пересекаются в точке M, описанные окружности треугольников AOD и BOC второй раз пересекаются в точке N, описанные окружности треугольников A1OB1 и C1OD1 второй раз пересекаются в точке P, описанные окружности треугольников A1OD1 и B1OC1 второй раз пересекаются в точке Q. Докажите, что точки M,N,P и Q лежат на одной окружности.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   4
4 года 2 месяца назад #

Пусть X,Y середины отрезков AC,BD соответственно. Очевидно, что

NAC=NDB,ACN=DBN.

Тогда NDBNAC, откуда NXA=NYD, иными словами N(OXY)описанная окружность OXY.

Аналогично M,P,Q(OXY), значит M,N,P,Q лежат на одной окружности.

  1
3 года 2 месяца назад #

Добрый день! Можете, пожалуйста, подсказать, почему вы выбрали именно центры диагоналей AC и BD, для того чтобы определить принадлежность всех точек к окружности OXY? Как додуматься до того, чтобы выбрать именно эти точки и в чем логика этого выбора? Буду очень признателен вам, если вы соизволите ответить на мой вопрос!

  1
3 года 2 месяца назад #

Широко известно, что N это точка Микеля для прямых AC,BD,AD,BC. Из этого следует подобие NDBNAC. Тогда ясно, что если X,Y соответственные точки на сторонах AC,DB, то OXNY вписанный. А дальше рассматривая остальные точки Микеля легко угадывается, что X,Y можно выбрать как середины сторон.

Вообще, когда даны симметричные точки на отрезке, то иногда бывает удобно рассмотреть середину этого отрезка для работы с данными точками.

  0
1 года назад #

Лемма:

Рассмотрим угол ROS и две пары точек R1, R2 на OR; S1, S2 на OS, такие что S это середина S1S2, R середина R1R2.

Рассмотрим поворотную гомотетию, переводящую R1R в S1S. Ее центр лежит на (ROS)(R1OS1). Рассмотрим поворотную гомотетию, переводящую R2R в S2S. ее центр лежит на (ROS)(R2OS2). Но это очевидно, одна и та же поворотная гомотетия, а значит это одна и та же точка. Т.е (R2OS2)(R1OS1)(ROS) независимо от выбора точек R1,S1,R2,S2.

Пусть E - Середина AC, F - середина BD в исходной задаче.

Теперь рассмотрим угол, образованный диагоналями и применим лемму, в качестве R и S возьмем E и F. Теперь, рассматривая четверки точек

A,C;B,D

C,A;B,D

A1,C1;B1,D1

C1,A1,B1,D1

в качестве R1,R2,S1,S2 и соответствующие окружности и центры поворотных гомотетий в лемме, получаем что все 4 точки лежат на (OEF), а это и есть точки M,N,P,Q из условия.