Областная олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс

Докажите, что для любых действительных чисел $a$, $b$ и $c$, сумма квадратов которых равна 3, выполняется неравенство $5(a^4+b^4+c^4)+9\geq 8 (a^3+b^3+c^3).$

Комментарий/решение

Точно такая задача есть у 9 класса (ОБЛ 2017-2018) с решением.

в тупую am gm, подставляем под $9 = 3a^2+ 3b^2 + 3c^2$ итд и потом все ашки соеденим по 1 и четатам выйдет и крч решится

9=3+6=3+2(a^2+b^2+c^2)

Значит надо доказать 5(a^4+b^4+c^4)+2(a^2+b^2+c^2)+3>=8(a^3+b^3+c^3)

Используем неравенства A.M.>=G.M.

a^4+a^4+a^4+a^4+a^4+a^2+a^2+1>=ind8 sqrt(a^24)=8a^3

Аналогично сделаем для b и c. Получим ответ.

а,б,с действительные числа, а ам гм можно использовать только для положительных. попробуйте воспользоваться модулями

a^4 /geq 0 также для b^4, c^4. Также для a^2 /geq 0 и для b и c значит они все больше или рвно чем 0. Поэтому мы можем использовать A.M. /geq G.M.

$a^2 + b^2 + c^2 = 3$ $\Rightarrow$ $9 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 +3$

$\sum \limits_{cyc}{}{5a^4 + 2a^2 + 1}$ = $\sum \limits_{cyc}{}{a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + a^2 + a^2 + 1}$\ge $\sum \limits_{cyc}{}{8 \sqrt[8]{a^24}$ = $\sum \limits_{cyc}{}{8a^3}$

$a^2 + b^2 + c^2 = 3$ $\Rightarrow$ $9 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 +3$

$\sum \limits_{cyc}{}{5a^4 + 2a^2 + 1}$ = $\sum \limits_{cyc}{}{a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + a^2 + a^2 + 1}$\geq $\sum \limit_{cyc}{}{8\sqrt[8]{a^24} $\Rightarrow$ $\sum \limits_{cyc}{}{5a^4 + 2a^2 + 1}$\geq $\sum \limits_{cyc}{}{8a^3}$

$a^2 + b^2 + c^2 = 3$ $\Rightarrow$ $9 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 +3$

$\sum \limits_{cyc}{}{5a^4 + 2a^2 + 1}$ = $(\sum \limits_{cyc}{}{a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + a^2 + a^2 + 1})$\geq $(\sum \limits_{cyc}{}{(8\sqrt[8]{a^{24}})})$ $\Rightarrow$ $(\sum \limits_{cyc}{}{5a^4 + 2a^2 + 1})$\geq $(\sum \limits_{cyc}{}{8a^3})$

Вот правильное решение

$a^2 + b^2 + c^2 = 3$ $\Rightarrow$ $9 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 +3$

$\sum \limits_{cyc}{}{5a^4 + 2a^2 + 1}$ = $\sum \limits_{cyc}{}{a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + a^2 + a^2 + 1}$ $\geq$ $\sum \limits_{cyc}{}{8\sqrt[8]{a^{24}}}$ $\Rightarrow$ $\sum \limits_{cyc}{}{5a^4 + 2a^2 + 1}$ $\geq$ $\sum \limits_{cyc}{}{8a^3}$