Областная олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс
Докажите, что для любых действительных чисел a, b и c, сумма квадратов которых равна 3, выполняется неравенство 5(a4+b4+c4)+9≥8(a3+b3+c3).
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
а,б,с действительные числа, а ам гм можно использовать только для положительных. попробуйте воспользоваться модулями
a2+b2+c2=3 ⇒ 9=2a2+2b2+2c2+3
∑cyc5a4+2a2+1 = ∑cyca4+a4+a4+a4+a4+a2+a2+1\ge $\sum \limits_{cyc}{}{8 \sqrt[8]{a^24}=\sum \limits_{cyc}{}{8a^3}$
a2+b2+c2=3⇒
9=2a2+2b2+2c2+3
∑cyc5a4+2a2+1=
∑cyca4+a4+a4+a4+a4+a2+a2+1
≥∑cyc88√a24⇒
∑cyc5a4+2a2+1
≥∑cyc8a3
a2+b2+c2=3 ⇒ 9=2a2+2b2+2c2+3
∑cyc5a4+2a2+1 = (∑cyca4+a4+a4+a4+a4+a2+a2+1)\geq (∑cyc(88√a24)) ⇒ (∑cyc5a4+2a2+1)\geq (∑cyc8a3)
Вот правильное решение
a2+b2+c2=3 ⇒ 9=2a2+2b2+2c2+3
∑cyc5a4+2a2+1 = ∑cyca4+a4+a4+a4+a4+a2+a2+1 ≥ ∑cyc88√a24 ⇒ ∑cyc5a4+2a2+1 ≥ ∑cyc8a3
Еще и решение единтичное с решением у 9 класса
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.