Областная олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс

Докажите, что для любых действительных чисел $a$, $b$ и $c$, сумма квадратов которых равна 3, выполняется неравенство $5(a^4+b^4+c^4)+9\geq 8 (a^3+b^3+c^3).$

Комментарий/решение

Точно такая задача есть у 9 класса (ОБЛ 2017-2018) с решением.

в тупую am gm, подставляем под $9 = 3a^2+ 3b^2 + 3c^2$ итд и потом все ашки соеденим по 1 и четатам выйдет и крч решится

9=3+6=3+2(a^2+b^2+c^2)

Значит надо доказать 5(a^4+b^4+c^4)+2(a^2+b^2+c^2)+3>=8(a^3+b^3+c^3)

Используем неравенства A.M.>=G.M.

a^4+a^4+a^4+a^4+a^4+a^2+a^2+1>=ind8 sqrt(a^24)=8a^3

Аналогично сделаем для b и c. Получим ответ.

а,б,с действительные числа, а ам гм можно использовать только для положительных. попробуйте воспользоваться модулями

$a^4$ >= $0$ также для $b^4$, $c^4$. $a^2$ >= $0$ и также для $b$ и $c$ значит они все больше или рвно чем 0. Поэтому мы можем использовать $A.M.$ >= $G.M$.

$a^2 + b^2 + c^2 = 3$ $\Rightarrow$ $9 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 +3$

$\sum \limits_{cyc}{}{5a^4 + 2a^2 + 1}$ = $\sum \limits_{cyc}{}{a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + a^2 + a^2 + 1}$\ge $\sum \limits_{cyc}{}{8 \sqrt[8]{a^24}$ = $\sum \limits_{cyc}{}{8a^3}$

$a^2 + b^2 + c^2 = 3 \Rightarrow$

$9 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 +3$

$\sum \limits_{cyc}{}{5a^4 + 2a^2 + 1} =$

$\sum \limits_{cyc}{}{a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + a^2 + a^2 + 1}$

$\ge \sum \limits_{cyc}{}{8\sqrt[8]{a^24}} \Rightarrow$

$\sum \limits_{cyc}{}{5a^4 + 2a^2 + 1}$

$\geq \sum \limits_{cyc}{}{8a^3}$

$a^2 + b^2 + c^2 = 3$ $\Rightarrow$ $9 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 +3$

$\sum \limits_{cyc}{}{5a^4 + 2a^2 + 1}$ = $(\sum \limits_{cyc}{}{a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + a^2 + a^2 + 1})$\geq $(\sum \limits_{cyc}{}{(8\sqrt[8]{a^{24}})})$ $\Rightarrow$ $(\sum \limits_{cyc}{}{5a^4 + 2a^2 + 1})$\geq $(\sum \limits_{cyc}{}{8a^3})$

Вот правильное решение

$a^2 + b^2 + c^2 = 3$ $\Rightarrow$ $9 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 +3$

$\sum \limits_{cyc}{}{5a^4 + 2a^2 + 1}$ = $\sum \limits_{cyc}{}{a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + a^4 + a^2 + a^2 + 1}$ $\geq$ $\sum \limits_{cyc}{}{8\sqrt[8]{a^{24}}}$ $\Rightarrow$ $\sum \limits_{cyc}{}{5a^4 + 2a^2 + 1}$ $\geq$ $\sum \limits_{cyc}{}{8a^3}$

99 лайков на одну задачу?

Еще и решение единтичное с решением у 9 класса

Он набустил себе лайков с помощью друзей как все в топе matol: AlikhanSerik, Smoking.smoldi, BekzhanMoldabekov и другие.

$5a⁴$ $+$ $2a²$ $+$ $1$ $>=$ $8a³$ $по$ $AM>=GM$ $верно$

$И$ $дальше$ $аналогично$