Областная олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Определим расположение точки C1, пусть I инцентр данного треугольника, опустим перпендикуляры ID,IF где D∈AB, F∈AC, пусть M середина AB. Тогда точка C1 симметрична D относительно M (по свойству вневписанной и вписанной окружностей AD=BC1=AF=B1C) таким же образом и с точкой B1. Пусть A′K ,A′X серединные перпендикуляры, из условия следует что ΔBA′B1, ΔCA′C1 равнобедренные, опустим перпендикуляр A′J и выберем на прямой AC такую точку B′1 что B′1J=B1J тогда A′B1=A′B′1=A′B. Заметим что ΔA′C1B=A′B1C по трем сторонам, опишем окружность с центрам в точке A′ и радиусам A′B пусть окружность пересекает AB в точке H, получаем, что ΔA′C1H=ΔA′CB1 по двум сторонам и углу, откуда B′1C=C1H, откуда AB=AB′1, значит A′ лежит на биссектрисе угла BAC. Аналогично B′,C′ лежат на биссектрисе углов ABC и ACB соответственно, следовательно пересекаться в одной точке. На рисунке A′ не лежит внутри треугольника.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.