Областная олимпиада по математике, 2018 год, 10 класс

В треугольнике $ABC$ вневписанные окружности касаются сторон $AB$, $BC$, $AC$ в точках $C_1,$ $A_1,$ $B_1$ соответственно. Точка $A'$ – точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $BB_1$ и $CC_1$. Точка $B'$ – точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AA_1$ и $CC_1.$ Точка $C'$ – точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $AA_1$ и $BB_1.$ Точки $A',$ $B',$ $C'$ лежат внутри треугольника $ABC.$ Докажите, что прямые $AA',$ $BB',$ $CC'$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

Определим расположение точки $C_{1}$, пусть $I$ инцентр данного треугольника, опустим перпендикуляры $ID,IF$ где $D \in AB, \ F \in AC$, пусть $M$ середина $AB$. Тогда точка $C_{1}$ симметрична $D$ относительно $M$ (по свойству вневписанной и вписанной окружностей $AD=BC_{1}=AF=B_{1}C$) таким же образом и с точкой $B_{1}$. Пусть $A'K \ ,A'X$ серединные перпендикуляры, из условия следует что $\Delta BA'B_{1}, \ \Delta CA'C_{1}$ равнобедренные, опустим перпендикуляр $A'J$ и выберем на прямой $AC$ такую точку $B_{1}'$ что $B_{1}'J=B_{1}J$ тогда $A'B_{1}=A'B_{1}'=A'B$. Заметим что $\Delta A'C_{1}B=A'B_{1}C$ по трем сторонам, опишем окружность с центрам в точке $A'$ и радиусам $A'B$ пусть окружность пересекает $AB$ в точке $H$, получаем, что $\Delta A'C_{1}H = \Delta A'CB_{1}$ по двум сторонам и углу, откуда $B_{1}'C=C_{1}H$, откуда $AB=AB_{1}'$, значит $A'$ лежит на биссектрисе угла $BAC$. Аналогично $B',C'$ лежат на биссектрисе углов $ABC$ и $ACB$ соответственно, следовательно пересекаться в одной точке. На рисунке $A'$ не лежит внутри треугольника.