Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 10 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Докажите, что для любого натурального n справедливо неравенство 23n2n+4n. Когда выполняется равенство?
комментарий/решение(2)
Задача №2.  У мальчика день рождения и его отец и дедушка разговаривают между собой:
— Сегодня возраст сына, мой возраст и твой — простые числа.
— Да, а через пять лет они все будут полными квадратами.
Сколько было дедушке, когда родился его внук?
комментарий/решение(3)
Задача №3.  Внутри остроугольного треугольника ABC взята точка P так, что все точки, симметричные ей относительно сторон треугольника, лежат на описанной около ABC окружности. Докажите, что P — точка пересечения высот треугольника ABC.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Длины сторон и диагоналей прямоугольника — натуральные числа. Докажите, что его площадь делится на 12.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Внутри квадрата со стороной 10 отметили 6 различных точек, все попарные расстояния между которыми –- целые числа. Докажите, что среди этих расстояний найдутся равные.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Решите уравнение 2sin2x=sinx в вещественных числах.
комментарий/решение(1)