Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 10 класс

Задача №1. Докажите, что для любого натурального $n$ справедливо неравенство $2\cdot3^n\leq 2^n+4^n$. Когда выполняется равенство?
комментарий/решение(2)

Задача №2. У мальчика день рождения и его отец и дедушка разговаривают между собой:
— Сегодня возраст сына, мой возраст и твой — простые числа.
— Да, а через пять лет они все будут полными квадратами.
Сколько было дедушке, когда родился его внук?
комментарий/решение(3)

Задача №3. Внутри остроугольного треугольника $ABC$ взята точка $P$ так, что все точки, симметричные ей относительно сторон треугольника, лежат на описанной около $ABC$ окружности. Докажите, что $P$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Длины сторон и диагоналей прямоугольника — натуральные числа. Докажите, что его площадь делится на 12.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Внутри квадрата со стороной 10 отметили 6 различных точек, все попарные расстояния между которыми –- целые числа. Докажите, что среди этих расстояний найдутся равные.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Решите уравнение $2^{\sin^2x}=\sin x$ в вещественных числах.
комментарий/решение(1)