Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Докажите, что для любого натурального n справедливо неравенство
2⋅3n≤2n+4n. Когда выполняется равенство?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. У мальчика день рождения и его отец и дедушка разговаривают между собой:
— Сегодня возраст сына, мой возраст и твой — простые числа.
— Да, а через пять лет они все будут полными квадратами.
Сколько было дедушке, когда родился его внук?
комментарий/решение(3)
— Сегодня возраст сына, мой возраст и твой — простые числа.
— Да, а через пять лет они все будут полными квадратами.
Сколько было дедушке, когда родился его внук?
комментарий/решение(3)
Задача №3. Внутри остроугольного треугольника ABC взята точка P так, что все точки, симметричные ей относительно сторон треугольника, лежат на описанной около ABC окружности. Докажите, что P — точка пересечения высот треугольника ABC.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Длины сторон и диагоналей прямоугольника — натуральные числа. Докажите, что его площадь делится на 12.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Внутри квадрата со стороной 10 отметили 6 различных точек, все попарные расстояния между которыми –- целые числа.
Докажите, что среди этих расстояний найдутся равные.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)