Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 10 класс

Решите уравнение $2^{\sin^2x}=\sin x$ в вещественных числах.

Комментарий/решение

С одной стороны, $0 \leqslant \sin^2{x} \leqslant 1$, откуда $1 \leqslant 2^{\sin^2{x}} \leqslant 2$.

С другой стороны, $-1 \leqslant \sin{x} \leqslant 1$.

Тогда получим:

$\left\{\begin{array}{lcr}2^{\sin^2{x}}&=&1,\\ \sin{x}&=&1. \end{array}\right.$

Очевидно, система не имеет решений, значит уравнение $2^{\sin^2{x}}=\sin{x}$ так же не имеет решений в вещественных числах.