Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 10 класс

Внутри квадрата со стороной 10 отметили 6 различных точек, все попарные расстояния между которыми –- целые числа. Докажите, что среди этих расстояний найдутся равные.

Комментарий/решение

Предположим обратное. Всего расстояний между точками $C^2_6=15$, тогда наибольшее расстояние равно $15$, но $15>10\sqrt{2}$. Значит, среди расстояний найдутся равные.