Математикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Кез келген натурал

$n$ саны үшін

$2\cdot {{3}^{n}}\le {{2}^{n}}+{{4}^{n}}$ теңсіздігін дәлелдеңіздер?

$n$ -нің қандай мәнінде теңдік орындалады?
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Ұлынын туған күнін тойлап жатып, әкесі оның атасына былай деп тіл қатты:
— Бүгін ұлымнын жасы, менің жасым және сенің жасың — жай сандар.
— Иә, ал бес жылдан кейін біздің жастарымыздың бәрі толық квадрат болады, деп атасы жауаып қайтарды.
Немересі туған кезде атасы қанша жаста еді?
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Сүйір бұрышты

$ABC$ үшбұрышының ішінде алынған

$P$ нүктені үшбұрыштың қабырғаларына қатысты симметриялы нүктелердің бәрі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шыңбердің бойында жатақаны белгілі болса, онда

$P$ нүктесі —

$ABC$ үшбұрышының биіктіктер қиылысу нүктесі екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Тіктөртбұрыштың қабырғалары мен диагональдары — натурал сандар болса, оның ауданы 12-ге бөліненінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Қабырғасы 10 болатын квадрат ішінен кез келген екеуінің ара-қашықтығы натурал сан болатын 6 нүкте алған. Осы ара-қашықтықтар арасында бірдей екеуі табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

${{2}^{{{\sin }^{2}}x}}=\sin x$ теңдеуінің нақты шешімін табыңыздар.
комментарий/решение(1)