қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. Кез келген натурал $n$ саны үшін $2\cdot {{3}^{n}}\le {{2}^{n}}+{{4}^{n}}$ теңсіздігін дәлелдеңіздер? $n$-нің қандай мәнінде теңдік орындалады?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Ұлынын туған күнін тойлап жатып, әкесі оның атасына былай деп тіл қатты:
— Бүгін ұлымнын жасы, менің жасым және сенің жасың — жай сандар.
— Иә, ал бес жылдан кейін біздің жастарымыздың бәрі толық квадрат болады, деп атасы жауаып қайтарды.
Немересі туған кезде атасы қанша жаста еді?
комментарий/решение(3)
— Бүгін ұлымнын жасы, менің жасым және сенің жасың — жай сандар.
— Иә, ал бес жылдан кейін біздің жастарымыздың бәрі толық квадрат болады, деп атасы жауаып қайтарды.
Немересі туған кезде атасы қанша жаста еді?
комментарий/решение(3)
Есеп №3. Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышының ішінде алынған $P$ нүктені үшбұрыштың қабырғаларына қатысты симметриялы нүктелердің бәрі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шыңбердің бойында жатақаны белгілі болса, онда $P$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышының биіктіктер қиылысу нүктесі екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Тіктөртбұрыштың қабырғалары мен диагональдары — натурал сандар болса, оның ауданы 12-ге бөліненінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Қабырғасы 10 болатын квадрат ішінен кез келген екеуінің ара-қашықтығы натурал сан болатын 6 нүкте алған. Осы ара-қашықтықтар арасында бірдей екеуі табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. ${{2}^{{{\sin }^{2}}x}}=\sin x$ теңдеуінің нақты шешімін табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)