Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, III тур дистанционного этапа

Есеп №1. Винтик және Шпунтик «Тяни-толкай» машинасын құрастырды. Машина алға қарай шығыны 3л/км болатын шәрбатпен, ал артқа қарай шығыны 5л/км болатын апельсин шырынымен жүреді. Үйден шығып, олар машинаны кезек-керек жүргізді. Винтик ары да, бері да бірге 12 км-ді жүріп өтті. Ал Шпунтик, Винтикпен салыстырғанда, алға қарай екі есе аз, сосын артқа қарай екі есе көп жүргеннен кейін бактағы 75 л жанармай бітті. Үйге жету үшін Винтик пен Шпунтикке жаяу қанша км жүру керек?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Натурал сан нөлге аяқталады, ал оның ең үлкен өздік бөлгіші жай санның дәрежесіне тең. Алдыңғы берілген санның артынан санағандағы екінші цифрін табыңыз. (Санның өздік бөлгіші деп, сол саннан өзгеше бөлгішті айтады.)
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Дөңес $ABCDE$ бесбұрышында $AB \parallel DE$, $CD = DE$, $CE \bot BC$, $CE\bot AD.$ $A $нүктесі арқылы өтетін және $CD$-ға параллель, $B$ нүктесі арқылы өтетін және $CE$-ге параллель, $E$ нүктесі арқылы өтетін және $BC$-ға параллель түзулер бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Өтірікшілер мен серілер қаласында 366 тұрғын бар, олардың барлығы кібісе жылдың әртүрлі күндерінде туылған. Қаланың әр тұрғыны екі сұраққа жауап берді. «Сіз ақпан айында туылдыңыз ба?» деген сұраққа «ия» деп 100 адам жауап берді. Ал «Сіз 30-ы күні туылдыңыз ба?» деген сұраққа «ия» деп 60 адам жауап берді. Қанша сері ақпан айында туылған? (Серілер әрқашан да шындықты, ал өтірікшілер әрқашан да өтірік айтады.)
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Өлшемі $8 \times 8$ болатын тақтаның кейбір шаршыларына үшбұрыштар іштей сызылған. Іштей сызылған үшбұрыштың бір қабырғасы шаршының қабырғасымен беттеседі де, ал үшінші төбесі қарама-қарсы қабырғада жатыр. Үшбұрыштарда ортақ нүкте жоқ екені белгілі. Ең аз дегенде қанша бос шаршы болуы мүмкін?
комментарий/решение(1)