Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, III тур дистанционного этапа


В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ $AB$ параллельно $DE$, $CD = DE$, $CE$ перпендикулярно $BC$ и $AD$. Докажите, что прямая, проходящая через $A$ параллельно $CD$, прямая, проходящая через $B$ параллельно $CE$, и прямая, проходящая через $E$ параллельно $BC$, пересекаются в одной точке.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Треугольник $CDE$ равнобедренный, а $AD$ — высота к его основанию. Значит, $AD$ — биссектриса треугольника $CDE$, углы $ADE$ и $ADC$ равны. Углы $ADE$ и $BAD$ равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых $AB$ и $DE$ секущей $AD$. Тогда углы $ADC$ и $BAD$ равны. Так как прямые $BC$ и $AD$ перпендикулярны одной прямой, то они параллельны, и $ABCD$ — равнобокая трапеция, откуда $AB = CD = DE.$ Значит, $ABDE$ — параллелограмм. Пусть $O$ — точка пересечения его диагоналей $AD$ и $BE$, тогда $AO = OD,$ $BO = OE.$


Пусть $X$ — точка пересечения прямой, проходящей через $B$ параллельно $CE,$ и прямой, проходящей через $E$ параллельно $BC$. Тогда $BCEX$ — параллелограмм. Точка $O$ — середина его диагонали $BE$, значит она же является серединой диагонали $CX$. Тогда диагонали $AD$ и $CX$ четырехугольника $ACDX$ точкой пересечения делятся пополам. Значит, $ACDX$ — параллелограмм, то есть $AX$ параллельно $CD$, и все три указанные в условии задачи прямые пересекаются в одной точке.