Processing math: 100%

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, III тур дистанционного этапа


Дөңес ABCDE бесбұрышында ABDE, CD=DE, CEBC, CEAD. Aнүктесі арқылы өтетін және CD-ға параллель, B нүктесі арқылы өтетін және CE-ге параллель, E нүктесі арқылы өтетін және BC-ға параллель түзулер бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Треугольник CDE равнобедренный, а AD — высота к его основанию. Значит, AD — биссектриса треугольника CDE, углы ADE и ADC равны. Углы ADE и BAD равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и DE секущей AD. Тогда углы ADC и BAD равны. Так как прямые BC и AD перпендикулярны одной прямой, то они параллельны, и ABCD — равнобокая трапеция, откуда AB=CD=DE. Значит, ABDE — параллелограмм. Пусть O — точка пересечения его диагоналей AD и BE, тогда AO=OD, BO=OE.


Пусть X — точка пересечения прямой, проходящей через B параллельно CE, и прямой, проходящей через E параллельно BC. Тогда BCEX — параллелограмм. Точка O — середина его диагонали BE, значит она же является серединой диагонали CX. Тогда диагонали AD и CX четырехугольника ACDX точкой пересечения делятся пополам. Значит, ACDX — параллелограмм, то есть AX параллельно CD, и все три указанные в условии задачи прямые пересекаются в одной точке.