Решения: Олимпиада им. Леонарда Эйлера, Дистанционный этап

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, III тур дистанционного этапа

В выпуклом пятиугольнике

$ABCDE$

$AB$ параллельно

$DE$ ,

$CD = DE$ ,

$CE$ перпендикулярно

$BC$ и

$AD$ . Докажите, что прямая, проходящая через

$A$ параллельно

$CD$ , прямая, проходящая через

$B$ параллельно

$CE$ , и прямая, проходящая через

$E$ параллельно

$BC$ , пересекаются в одной точке.

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Треугольник $CDE$ равнобедренный, а $AD$ — высота к его основанию. Значит, $AD$ — биссектриса треугольника $CDE$ , углы $ADE$ и $ADC$ равны. Углы $ADE$ и $BAD$ равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых $AB$ и $DE$ секущей $AD$ . Тогда углы $ADC$ и $BAD$ равны. Так как прямые $BC$ и $AD$ перпендикулярны одной прямой, то они параллельны, и $ABCD$ — равнобокая трапеция, откуда $AB = CD = DE.$ Значит, $ABDE$ — параллелограмм. Пусть $O$ — точка пересечения его диагоналей $AD$ и $BE$ , тогда $AO = OD,$ $BO = OE.$

Пусть

$X$ — точка пересечения прямой, проходящей через

$B$ параллельно

$CE,$ и прямой, проходящей через

$E$ параллельно

$BC$ . Тогда

$BCEX$ — параллелограмм. Точка

$O$ — середина его диагонали

$BE$ , значит она же является серединой диагонали

$CX$ . Тогда диагонали

$AD$ и

$CX$ четырехугольника

$ACDX$ точкой пересечения делятся пополам. Значит,

$ACDX$ — параллелограмм, то есть

$AX$ параллельно

$CD$ , и все три указанные в условии задачи прямые пересекаются в одной точке.