қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, III тур дистанционного этапа
Задача №1. Винтик и Шпунтик смастерили машину «Тяни-толкай», которая едет вперед на сиропчике с расходом топлива 3л/км, а назад – на апельсиновом соке с расходом топлива 5л/км. Выехав из дома, они вели машину по очереди. Винтик проехал за рулём в обе стороны вместе 12 км. Шпунтик ехал вперед вдвое меньше, чем Винтик, а назад проехал вдвое больше, после чего имевшиеся 75 литров топлива закончились. Сколько километров Винтику и Шпунтику придется возвращаться домой пешком?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Натуральное число заканчивается на ноль, а наибольший из его делителей, не равных ему самому, является степенью простого числа. Найдите предпоследнюю цифру этого числа.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ $AB$ параллельно $DE$, $CD = DE$, $CE$ перпендикулярно $BC$ и $AD$. Докажите, что прямая, проходящая через $A$ параллельно $CD$, прямая, проходящая через $B$ параллельно $CE$, и прямая, проходящая через $E$ параллельно $BC$, пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В городе лжецов и рыцарей 366 жителей, все родились в разные дни високосного года. Все жители города ответили на два вопроса. На вопрос «Вы родились в феврале?» утвердительно ответили 100 человек, а на вопрос «Вы родились 30-го числа?» утвердительно ответили 60 человек. Сколько рыцарей родилось в феврале? (Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В некоторые клетки доски $8 \times 8$ вписаны треугольники, у которых одна сторона совпадает со стороной клетки, а третья вершина лежит на противоположной стороне клетки. У треугольников нет общих точек. Каково наименьшее возможное число пустых клеток?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)