Западно-Китайская математическая олимпиада, 2011 год

Задача №1. Даны

$0 < x,y < 1$ . Найдите наибольшее значение выражения

$\frac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2.

$M$ — подмножество

$\{1,2,3 \ldots 2011\}$ , удовлетворяющее такому условию: среди любых трех элементов

$M$ есть два,

$a$ и

$b$ , таких, что

$a|b$ или

$b|a$ . Найдите наибольшее возможное значение

$|M|$ .
комментарий/решение

Задача №3. Дано целое

$n \geq 2$ .
a) Докажите, что существует такая перестановка

$A_{1}, A_{2},\ldots , A_{2^{n}}$ подмножеств множества

$\{1,2 \ldots ,n\}$ , что

$|A_{i+1}| = |A_{i}| + 1$ или

$|A_{i}| - 1$ при

$i = 1,2,3,\ldots , 2^{n}$ , и

$A_{2^{n} + 1} = A_{1}$ .
b) Найдите все возможные значения

$\sum \limits_{i = 1}^{2^n} (-1)^{i}S(A_{i})$ , где

$S(A_{i})$ обозначает сумму элементов

$A_{i}$ и

$S(\emptyset) = 0$ , для любой последовательности

$A_{1},A_{2},\ldots ,A_{2^n}$ из пункта a).
комментарий/решение

Задача №4.

$AB$ и

$CD$ — две хорды окружности

$\Gamma_{1}$ с центром

$O$ разной длины, пересекающиеся в точке

$E$ (внутри

$\Gamma_{1}$ ). Окружность

$\Gamma_{2}$ центром

$I$ касается

$\Gamma_{1}$ внутренним образом в

$F$ , а также касается

$AB$ в

$G$ и

$CD$ в

$H$ . Прямая

$l$ , проходящая через

$O$ , пересекает

$AB$ и

$CD$ в

$P$ и

$Q$ , соответственно, причем

$EP = EQ$ . Прямая

$EF$ пересекает

$l$ в

$M$ . Докажите, что прямая, проходящая через

$M$ и параллельная

$AB$ , касается

$\Gamma_{1}$
комментарий/решение(1)

Задача №5. Существуют ли нечетное

$n \geq 3$ и различные простые

$p_1 , p_2, \ldots p_n$ такие, что все числа вида

$p_i + p_{i+1} (i = 1,2,\ldots , n$ ;

$p_{n+1} = p_{1})$ являются полными квадратами?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Для действительных

$a,b,c > 0$ докажите, что

$\frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)} + \frac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{(c-a)^2}{(b+c)(b+a)} \geq \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}.$
комментарий/решение(1)

Задача №7. В треугольнике

$ABC$ ,

$AB > AC$ ,

$I$ — центр вписанной окружности, которая касается

$BC,CA,AB$ в

$D,E,F$ соответственно.

$M$ — середина

$BC$ ,

$H$ — основание высоты из

$A$ . Луч

$AI$ пересекает прямые

$DE$ и

$DF$ в

$K$ и

$L$ , соответственно. Докажите, что точки

$M,L,H,K$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №8. Найдите все такие пары целых чисел

$(a,b)$ , что

$n|( a^n + b^{n+1})$ для всех натуральных

$n$ .
комментарий/решение(1)