Западно-Китайская математическая олимпиада, 2011 год
Для действительных a,b,c>0 докажите, что
(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a2+b2+c2.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение1. Введем обозначения b+c=x,a+c=y и a+b=z. Исходное неравенство в новых обозначениях перепишется так:
(x−y)2xy+(y−z)2yz+(z−x)2zx≥4(x−y)23x2+3y2+3z2−2xy−2yz−2zx
Далее, в силу неравенства Коши Буняковского имеем оценку
(x−y)2xy+(y−z)2yz+(z−x)2zx≥(x−y)2xy+(y−z+z−x)2yz+zx=
=(x−y)2xy+(x−y)2yz+zx≥(x−y+x−y)2xy+yz+zx=
=4(x−y)2xy+yz+zx≥4(x−y)23x2+3y2+3z2−2xy−2yz−2zx⟺
⟺3x2+3y2+3z2−2xy−2yz−2zx≥xy+yz+zx⟺
⟺(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2≥0◼
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.