Processing math: 100%

Западно-Китайская математическая олимпиада, 2011 год


Для действительных a,b,c>0 докажите, что (ab)2(c+a)(c+b)+(bc)2(a+b)(a+c)+(ca)2(b+c)(b+a)(ab)2a2+b2+c2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
4 года 2 месяца назад #

Решение1. Введем обозначения b+c=x,a+c=y и a+b=z. Исходное неравенство в новых обозначениях перепишется так:

(xy)2xy+(yz)2yz+(zx)2zx4(xy)23x2+3y2+3z22xy2yz2zx

Далее, в силу неравенства Коши Буняковского имеем оценку

(xy)2xy+(yz)2yz+(zx)2zx(xy)2xy+(yz+zx)2yz+zx=

=(xy)2xy+(xy)2yz+zx(xy+xy)2xy+yz+zx=

=4(xy)2xy+yz+zx4(xy)23x2+3y2+3z22xy2yz2zx

3x2+3y2+3z22xy2yz2zxxy+yz+zx

(xy)2+(yz)2+(zx)20