Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Западно-Китайская математическая олимпиада, 2011 год


Найдите все такие пары целых чисел (a,b), что n|(an+bn+1) для всех натуральных n.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2
4 года 4 месяца назад #

Ответ: (a,b)=(0,0),(1,1).

Решение 1: Заметим, что a=0b=0, а также (a,b)=(0,0) подходит под условие. Далее a,b0. Заметим, что

n2na2n+b2n+1.

Поскольку anbn+1(modn)b2n+1a2nb2n+2(modn)

nb2n+1(b+1),

следовательно b+1=0, поскольку существует бесконечно много n таких, что gcd(n,b)=1, откуда nb+1 для достаточно больших n.

Аналогично a+1=0. Значит (a,b)=(1,1).

Решение 2: Подставим n=p,2p для всех простых p, тогда из Малой Теоремы Ферма

0ap+bp+1a+b2(modp),

0a2p+b2p+1a2+b3(modp).

Тогда a+b2=a2+b3=0, откуда получаем ответы.