Западно-Китайская математическая олимпиада, 2011 год
Найдите все такие пары целых чисел (a,b), что n|(an+bn+1) для всех натуральных n.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ: (a,b)=(0,0),(−1,−1).
Решение 1: Заметим, что a=0⟺b=0, а также (a,b)=(0,0) подходит под условие. Далее a,b≠0. Заметим, что
n∣2n∣a2n+b2n+1.
Поскольку a^n\equiv -b^{n+1}\pmod n\implies -b^{2n+1}\equiv a^{2n}\equiv b^{2n+2}\pmod n
\implies n\mid b^{2n+1}(b+1),
следовательно b+1=0, поскольку существует бесконечно много n таких, что gcd(n,b)=1, откуда n\mid b+1 для достаточно больших n.
Аналогично a+1=0. Значит (a,b)=(-1,-1).
Решение 2: Подставим n=p,2p для всех простых p, тогда из Малой Теоремы Ферма
0\equiv a^{p}+b^{p+1}\equiv a+b^2\pmod p,
0\equiv a^{2p}+b^{2p+1}\equiv a^2+b^3\pmod p.
Тогда a+b^2=a^2+b^3=0, откуда получаем ответы.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.