Западно-Китайская математическая олимпиада, 2011 год

Найдите все такие пары целых чисел $(a,b)$, что $n|( a^n + b^{n+1})$ для всех натуральных $n$.

Комментарий/решение

Ответ: $(a,b)=(0,0),(-1,-1).$

Решение 1: Заметим, что $a=0\iff b=0,$ а также $(a,b)=(0,0)$ подходит под условие. Далее $a,b\neq 0.$ Заметим, что

$$n\mid 2n\mid a^{2n}+b^{2n+1}.$$

Поскольку $a^n\equiv -b^{n+1}\pmod n\implies -b^{2n+1}\equiv a^{2n}\equiv b^{2n+2}\pmod n$

$$\implies n\mid b^{2n+1}(b+1),$$

следовательно $b+1=0,$ поскольку существует бесконечно много $n$ таких, что $gcd(n,b)=1,$ откуда $n\mid b+1$ для достаточно больших $n.$

Аналогично $a+1=0.$ Значит $(a,b)=(-1,-1).$

Решение 2: Подставим $n=p,2p$ для всех простых $p,$ тогда из Малой Теоремы Ферма

$$0\equiv a^{p}+b^{p+1}\equiv a+b^2\pmod p,$$

$$0\equiv a^{2p}+b^{2p+1}\equiv a^2+b^3\pmod p.$$

Тогда $a+b^2=a^2+b^3=0,$ откуда получаем ответы.