Западно-Китайская математическая олимпиада, 2011 год

В треугольнике $ABC$, $AB > AC$, $I$ — центр вписанной окружности, которая касается $BC,CA,AB$ в $D,E,F$ соответственно. $M$ — середина $BC$, $H$ — основание высоты из $A$. Луч $AI$ пересекает прямые $DE$ и $DF$ в $K$ и $L$, соответственно. Докажите, что точки $M,L,H,K$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

По известной лемме $(255),$ $K$ и $L$ определяются как перпендикуляры из $B,C$ на $AI.$ Тогда $AHKB,CHLA, CLMW,BMKW$ $(W-$ середина дуги $BC) -$ вписанные$.$ Тогда по известной теореме $MLHK-$ вписанный$.$