Западно-Китайская математическая олимпиада, 2011 год

$AB$ и $CD$ — две хорды окружности $\Gamma_{1}$ с центром $O$ разной длины, пересекающиеся в точке $E$ (внутри $\Gamma_{1}$). Окружность $\Gamma_{2}$ центром $I$ касается $\Gamma_{1}$ внутренним образом в $F$, а также касается $AB$ в $G$ и $CD$ в $H$. Прямая $l$, проходящая через $O$, пересекает $AB$ и $CD$ в $P$ и $Q$, соответственно, причем $EP = EQ$. Прямая $EF$ пересекает $l$ в $M$. Докажите, что прямая, проходящая через $M$ и параллельная $AB$, касается $\Gamma_{1}$

Комментарий/решение

$\psi$ - гомотетия в $F$, переводящая $\Gamma_1$ в $\Gamma_2$. Пусть касательные в серединах дуг $AB$ и $CD$ пересекаются в $M'$, тогда нетрудно заметить, что $\psi^{-1}(M)=E$. Таким образом требуется установить совпадение $M$ и $M'$. Для этого просто нужно осознать, что направление прямой $PQ$ перпендикулярно биссектрисе $\angle PEQ$, которая в свою очередь перпендикулярна биссектрисе угла $\angle GEH$, а значит прямая $PQ$ параллельна $EI$. Поэтому $\psi(EI)=MO$, то по определению только $M'$ на прямой $EF$ удовлетворяет условию $M'O\bot \psi(GH)$, а значит $M$ совпадает с $M'$.