Районная олимпиада, 2011-2012 учебный год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Решите уравнение

$\dfrac{x}{3} + \dfrac{5}{x} = 45x + x^2$ .
комментарий/решение(2)

Задача №2. Найдите все целые

$n$ , для которых число

$|2n^2+9n+4|$ — простое.
комментарий/решение(1)

Задача №3. На плоскости три окружности радиуса 1 имеют общую точку

$O$ . Обозначим через

$A$ ,

$B$ ,

$C$ другие точки пересечения этих окружностей друг с другом. Докажите, что радиус описанной около треугольника

$ABC$ окружности равен 1.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Имеется шесть различных кошельков. Сколькими способами можно разложить в них двенадцать одинаковых монет, чтобы пустым остался максимум один кошелек?
комментарий/решение(2)

Задача №5. Функция

$f$ удовлетворяет соотношению

$f(\cos x)=\cos (17x)$ для любого вещественного

$x$ . Докажите, что она также удовлетворяет соотношению

$f(\sin x)=\sin (17x)$ для любого вещественного

$x$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек

$(x,y)$ , для которых при любом

$-1\leq t \leq 1$ справедливо неравенство

$t^2+yt+x\geq 0.$
комментарий/решение(1)