Районная олимпиада, 2011-2012 учебный год, 11 класс

На плоскости три окружности радиуса 1 имеют общую точку $O$. Обозначим через $A$, $B$, $C$ другие точки пересечения этих окружностей друг с другом. Докажите, что радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен 1.

Комментарий/решение

Тогда $\angle OAB = \angle OCB$ так же и с остальными углами , $\angle BAO+\angle CAO+\angle OBA=90^\circ$.

Получим $BC=2sin (\angle OBA)$.

То есть радиус описанной окружности $R_{ACB} = \dfrac{BC}{2sin(\angle BAO + \angle CAO)} = \dfrac{2sin(\angle OBA)}{2sin(\angle OBA)}=1$