Математикадан аудандық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 11 сынып

Өрқайсысының радиустары 1-ге тең үш шеңбер $O$ нүктесінде қиылысады. Шеңберлер бұл нүктеден басқа $A$, $B$ және $C$ нүктелерінде бір-бірімен тағы да қиылысады. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шебердің радиусы 1-ге тең екенін дәлдеңіздер.

Комментарий/решение

Тогда $\angle OAB = \angle OCB$ так же и с остальными углами , $\angle BAO+\angle CAO+\angle OBA=90^\circ$.

Получим $BC=2sin (\angle OBA)$.

То есть радиус описанной окружности $R_{ACB} = \dfrac{BC}{2sin(\angle BAO + \angle CAO)} = \dfrac{2sin(\angle OBA)}{2sin(\angle OBA)}=1$