Районная олимпиада, 2011-2012 учебный год, 11 класс

Изобразите на координатной плоскости множество всех точек $(x,y)$, для которых при любом $-1\leq t \leq 1$ справедливо неравенство $$ t^2+yt+x\geq 0. $$

Комментарий/решение

По условию $t^2+yt+x\geq 0$. Выделим целую часть и получим $(t^2+2\cdot t\cdot {\dfrac {y}{2}}+\dfrac {y^2}{4})+x-\dfrac {y^2}{4} \geq 0$ то есть $(t+\dfrac {y}{2})^2+x-\dfrac {y^2}{4}\geq 0$. Очевидно $(t+\dfrac{y}{2})^2\geq 0$ . Чтобы неравенство выполнялось, пусть $x-\dfrac {y^2}{4}\geq 0$ или же $y^2-4x\leq 0$;

Нули неравенства $y=2\sqrt {x} $ и $y=-2\sqrt {x} $. По методу интервалов $y\in [-2\sqrt x;2\sqrt x] $. Искомое множество лежит внутри параболы $x=\dfrac {1}{2}y^2$ или же внутри двух полупарабол $y=2\sqrt x $ и $y=-2\sqrt x $