Математикадан аудандық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 11 сынып

Координаттар жазықтығында кез келген $-1\le t\le 1$ үшін ${{t}^{2}}+yt+x > 0$ теңсідігін қанағаттандыратынын $\left( x,y \right)$ нақты сандар жұптар жиынын белгілеңіздер.

Комментарий/решение

По условию $t^2+yt+x\geq 0$. Выделим целую часть и получим $(t^2+2\cdot t\cdot {\dfrac {y}{2}}+\dfrac {y^2}{4})+x-\dfrac {y^2}{4} \geq 0$ то есть $(t+\dfrac {y}{2})^2+x-\dfrac {y^2}{4}\geq 0$. Очевидно $(t+\dfrac{y}{2})^2\geq 0$ . Чтобы неравенство выполнялось, пусть $x-\dfrac {y^2}{4}\geq 0$ или же $y^2-4x\leq 0$;

Нули неравенства $y=2\sqrt {x}$ и $y=-2\sqrt {x}$. По методу интервалов $y\in [-2\sqrt x;2\sqrt x]$. Искомое множество лежит внутри параболы $x=\dfrac {1}{2}y^2$ или же внутри двух полупарабол $y=2\sqrt x$ и $y=-2\sqrt x$