Математикадан аудандық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Келесі теңдеудің барлық нақты түбірлерін табыңыздар:

$\dfrac{x}{3}+\dfrac{5}{x}=45x+{{x}^{2}}$ .
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$\left| 2{{n}^{2}}+9n+4 \right|$ саны жай сан болатын, барлық бүтін

$n$ санын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Өрқайсысының радиустары 1-ге тең үш шеңбер

$O$ нүктесінде қиылысады. Шеңберлер бұл нүктеден басқа

$A$ ,

$B$ және

$C$ нүктелерінде бір-бірімен тағы да қиылысады.

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шебердің радиусы 1-ге тең екенін дәлдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Әртүрлі алты қорап бар. Бірдей он екі монетаны, осы қораптарға, ең көп дегенде, біреуі ғана бос қалатындай етіп, қаншаа әдіспен салуға болады?
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

$f$ функциясы кез келген нақты

$x$ саны үшін

$f\left( \cos x \right)=\cos \left( 17x \right)$ тепе-теңдігін қанағаттандырады. Осы функцияның кез келген нақты

$x$ саны үшін

$f\left( \sin x \right)=\sin \left( 17x \right)$ тепе-теңдігін қанағаттандыратынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Координаттар жазықтығында кез келген

$-1\le t\le 1$ үшін

${{t}^{2}}+yt+x > 0$ теңсідігін қанағаттандыратынын

$\left( x,y \right)$ нақты сандар жұптар жиынын белгілеңіздер.
комментарий/решение(1)