Геометриядан Иран олимпиадасы, 2015 жыл, 2-ші лига (9-10 сыныптар)

Есеп №1. Төменгі суретте

$P, A, B$ нүктелері бір шеңбердің бойында жатыр және

$\angle{PAQ}=90^\circ$ ,

$PQ=BQ$ .

$\angle{AQB}-\angle{PQA}$ бұрыштар айырымы

$AB$ доғасына тірелген ортаңғы бұрышқа тең екенін дәлелдеңіздер.

комментарий/решение(4)

Есеп №2. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышында

$B$ төбесінен

$BH$ биіктігі жүргізілген.

$D$ және

$E$ нүктелері сәйкесінше

$AB$ және

$AC$ қабырғаларының ортасы.

$F$ нүктесі

$H$ нүктесіне

$ED$ түзуіне қарағанда симметриялы нүкте болсын.

$BF$ түзуінің

$\triangle ABC$ -ға сырттай сызылған шеңбер центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышында

$M, N, K$ нүктелері сәйкесінше

$BC, CA, AB$ қабырғаларының орталары болып табылады. Үшбұрыштың

$AC$ және

$AB$ қабырғаларында диаметр ретінде сыртқа қарай екі

$\omega_B$ мен

$\omega_C$ жартышеңберлері салынған.

$MK$ мен

$MN$ түзулері

$\omega_C$ мен

$\omega_B$ -ны сәйкесінше

$X$ және

$Y$ нүктелерінде қияды.

$\omega_C$ мен

$\omega_B$ -ға сәйкесінше

$X$ пен

$Y$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар

$Z$ нүктесінде қиылыссын.

$AZ \bot BC$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Центрі

$O$ болатын

$\omega$ шеңберіне дұрыс

$ABC$ үшбұрышы іштей сызылған.

$P$ нүктесі —

$BC$ доғадан алынған нүкте болсын.

$\omega$ -ға

$P$ нүктесінде жүргізілген жанама

$AB$ және

$AC$ қабырғаларының созындысын

$K$ және

$L$ нүктелерінде қияды.

$\angle{KOL} > 90^\circ$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. a) Әр шеңбер дәл үш басқа шеңбердің центрі арқылы өтетіндей, жазықтықта 5 шеңбер бар ма?
b) Әр шеңбер дәл үш басқа шеңбердің центрі арқылы өтетіндей, жазықтықта 6 шеңбер бар ма?
комментарий/решение(1)