қазақша
русскийГеометриядан Иран олимпиадасы, 2015 жыл, 2-ші лига (9-10 сыныптар)
Есеп №1. Төменгі суретте $P, A, B $ нүктелері бір шеңбердің бойында жатыр және $\angle{PAQ}=90^\circ$, $PQ=BQ$. $\angle{AQB}-\angle{PQA}$ бұрыштар айырымы $AB$ доғасына тірелген ортаңғы бұрышқа тең екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №2. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында $B$ төбесінен $BH$ биіктігі жүргізілген. $D$ және $E$ нүктелері сәйкесінше $AB$ және $AC$ қабырғаларының ортасы. $F$ нүктесі $H$ нүктесіне $ED$ түзуіне қарағанда симметриялы нүкте болсын. $BF$ түзуінің $\triangle ABC$-ға сырттай сызылған шеңбер центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $M, N, K$ нүктелері сәйкесінше $BC, CA, AB$ қабырғаларының орталары болып табылады. Үшбұрыштың $AC$ және $AB$ қабырғаларында диаметр ретінде сыртқа қарай екі $\omega_B$ мен $\omega_C$ жартышеңберлері салынған. $MK$ мен $MN$ түзулері $\omega_C$ мен $\omega_B$-ны сәйкесінше $X$ және $Y$ нүктелерінде қияды. $\omega_C$ мен $\omega_B$-ға сәйкесінше $X$ пен $Y$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар $Z$ нүктесінде қиылыссын. $AZ \bot BC$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Центрі $O$ болатын $\omega$ шеңберіне дұрыс $ABC$ үшбұрышы іштей сызылған. $P$ нүктесі — $BC$ доғадан алынған нүкте болсын. $\omega$-ға $P$ нүктесінде жүргізілген жанама $AB$ және $AC$ қабырғаларының созындысын $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. $\angle{KOL} > 90^\circ$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. a) Әр шеңбер дәл үш басқа шеңбердің центрі арқылы өтетіндей, жазықтықта 5 шеңбер бар ма?
b) Әр шеңбер дәл үш басқа шеңбердің центрі арқылы өтетіндей, жазықтықта 6 шеңбер бар ма?
комментарий/решение(1)
b) Әр шеңбер дәл үш басқа шеңбердің центрі арқылы өтетіндей, жазықтықта 6 шеңбер бар ма?
комментарий/решение(1)