2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, вторая лига, 9-10 классы

В треугольнике $ABC$ точки $M, N, K$ являются серединами сторон $BC, CA, AB$ соответственно. На сторонах $AC$ и $AB$ как на диаметрах во внешнюю сторону построены две полуокружности $\omega_B$ и $\omega_C$ соответственно. Предположим, что прямые $MK$ и $MN$ пересекают $\omega_C$ и $\omega_B$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Пусть касательные прямые в точках $X$ и $Y$ к $\omega_C$ и $\omega_B$ соответственно пересекаются в точке $Z$. Докажите, что $AZ \bot BC$.

Комментарий/решение

Пусть, $T$ - основание перпендикуляра из точки $A$ на прямую $BC$.

Сначала докажем, что точки $A$, $X$ и $Y$ коллинеарные. В силу параллельности, $\angle AKX=\angle ANY =\angle A$. Тогда, $\angle XBA=\angle ACY=\angle \frac{A}{2}$ из этого следует что $\angle XAB=\angle CAY=90-\angle\frac{A}{2}$. Значит точки $A$, $X$ и $Y$ лежат на одной прямой. А также $$\angle AXZ =\angle ABX=\angle \frac{A}{2}=\angle ACY =\angle AYZ$$

Значит $ZX=ZY$.

Теперь остается заметить, что точка $Z$ лежит на радикальной оси двух полуокружностей а также прямая $AT$ является их радикальной осью. Значит точки $A$, $T$ и $Z$ лежат на одной прямой и $AZ$ перпендикулярно $BC$.

$MX=MK+KX=AN+MN=NY+MN=MY. $ Значить ZX=ZY, так как $(MXZY)$ вписанный. $Pow_{\omega_B}(Z)=Pow_{\omega_C}(Z)$ и все $Z$ лежит на рад. ось. $\omega_B$ и $\omega_C$