2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, вторая лига, 9-10 классы
Задача №1. На рисунке ниже точки P,A,B лежат на окружности, а точка Q внутри окружности так, что ∠PAQ=90∘ и PQ=BQ. Докажите, что значение разности углов ∠AQB−∠PQA равна центральному углу, опирающемуся на дугу AB.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №2. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH из вершины B. Точки D и E являются серединами сторон AB и AC соответственно. Пусть точка F симметрична точке H относительно прямой ED. Докажите, что прямая BF проходит через центр описанной окружности △ABC.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. В треугольнике ABC точки M,N,K являются серединами сторон BC,CA,AB соответственно. На сторонах AC и AB как на диаметрах во внешнюю сторону построены две полуокружности ωB и ωC соответственно. Предположим, что прямые MK и MN пересекают ωC и ωB в точках X и Y соответственно. Пусть касательные прямые в точках X и Y к ωC и ωB соответственно пересекаются в точке Z. Докажите, что AZ⊥BC.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В окружность ω с центром O вписан правильный треугольник ABC. Пусть P — точка дуги BC. Касательная прямая к ω в точке P пересекает продолжения прямых AB и AC в точках K и L соответственно. Докажите, что ∠KOL>90∘.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. a) Существуют ли 5 окружностей на плоскости таких, что каждая окружность проходит через центры в точности трех других окружностей?
b) Существуют ли 6 окружностей на плоскости таких, что каждая окружность проходит через центры в точности трех других окружностей?
комментарий/решение(1)
b) Существуют ли 6 окружностей на плоскости таких, что каждая окружность проходит через центры в точности трех других окружностей?
комментарий/решение(1)