2-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2015 год, вторая лига, 9-10 классы

В окружность $\omega$ с центром $O$ вписан правильный треугольник $ABC$. Пусть $P$ — точка дуги $BC$. Касательная прямая к $\omega$ в точке $P$ пересекает продолжения прямых $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle{KOL} > 90^\circ$.

Комментарий/решение

Пусть $M$ и $N$ середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Тогда четырехугольник $BMNC$ вписанный. А также $\angle BPC = 120 > 90$. Значит точка $P$ лежит внутри описанной окружности четырехугольника $BMNC$. Значит $\angle MPN > \angle MBN=30$

С другой стороны четурехугольники $KMOP$ и $NOPL$ вписанные, поэтому

$\angle MKO=\angle MPO$, $\angle NLO= \angle NPO$ $\Longrightarrow$ $\angle AKO + \angle ALO=\angle MPN > 30$. $\rightarrow$ $\angle KOL= \angle A +\angle AKO+ \angle ALO > 90$