Геометриядан Иран олимпиадасы, 2015 жыл, 2-ші лига (9-10 сыныптар)

Центрі $O$ болатын $\omega$ шеңберіне дұрыс $ABC$ үшбұрышы іштей сызылған. $P$ нүктесі — $BC$ доғадан алынған нүкте болсын. $\omega$-ға $P$ нүктесінде жүргізілген жанама $AB$ және $AC$ қабырғаларының созындысын $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. $\angle{KOL} > 90^\circ$ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть $M$ и $N$ середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Тогда четырехугольник $BMNC$ вписанный. А также $\angle BPC = 120 > 90$. Значит точка $P$ лежит внутри описанной окружности четырехугольника $BMNC$. Значит $\angle MPN > \angle MBN=30$

С другой стороны четурехугольники $KMOP$ и $NOPL$ вписанные, поэтому

$\angle MKO=\angle MPO$, $\angle NLO= \angle NPO$ $\Longrightarrow$ $\angle AKO + \angle ALO=\angle MPN > 30$. $\rightarrow$ $\angle KOL= \angle A +\angle AKO+ \angle ALO > 90$