Геометриядан Иран олимпиадасы, 2015 жыл, 2-ші лига (9-10 сыныптар)
ABC үшбұрышында M,N,K нүктелері сәйкесінше BC,CA,AB қабырғаларының орталары болып табылады. Үшбұрыштың AC және AB қабырғаларында диаметр ретінде сыртқа қарай екі ωB мен ωC жартышеңберлері салынған. MK мен MN түзулері ωC мен ωB-ны сәйкесінше X және Y нүктелерінде қияды. ωC мен ωB-ға сәйкесінше X пен Y нүктелерінде жүргізілген жанамалар Z нүктесінде қиылыссын. AZ⊥BC екенін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть, T - основание перпендикуляра из точки A на прямую BC.
Сначала докажем, что точки A, X и Y коллинеарные. В силу параллельности, ∠AKX=∠ANY=∠A. Тогда, ∠XBA=∠ACY=∠A2 из этого следует что ∠XAB=∠CAY=90−∠A2. Значит точки A, X и Y лежат на одной прямой. А также ∠AXZ=∠ABX=∠A2=∠ACY=∠AYZ
Значит ZX=ZY.
Теперь остается заметить, что точка Z лежит на радикальной оси двух полуокружностей а также прямая AT является их радикальной осью. Значит точки A, T и Z лежат на одной прямой и AZ перпендикулярно BC.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.