Геометриядан Иран олимпиадасы, 2015 жыл, 2-ші лига (9-10 сыныптар)

$ABC$ үшбұрышында $M, N, K$ нүктелері сәйкесінше $BC, CA, AB$ қабырғаларының орталары болып табылады. Үшбұрыштың $AC$ және $AB$ қабырғаларында диаметр ретінде сыртқа қарай екі $\omega_B$ мен $\omega_C$ жартышеңберлері салынған. $MK$ мен $MN$ түзулері $\omega_C$ мен $\omega_B$-ны сәйкесінше $X$ және $Y$ нүктелерінде қияды. $\omega_C$ мен $\omega_B$-ға сәйкесінше $X$ пен $Y$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар $Z$ нүктесінде қиылыссын. $AZ \bot BC$ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть, $T$ - основание перпендикуляра из точки $A$ на прямую $BC$.

Сначала докажем, что точки $A$, $X$ и $Y$ коллинеарные. В силу параллельности, $\angle AKX=\angle ANY =\angle A$. Тогда, $\angle XBA=\angle ACY=\angle \frac{A}{2}$ из этого следует что $\angle XAB=\angle CAY=90-\angle\frac{A}{2}$. Значит точки $A$, $X$ и $Y$ лежат на одной прямой. А также $$\angle AXZ =\angle ABX=\angle \frac{A}{2}=\angle ACY =\angle AYZ$$

Значит $ZX=ZY$.

Теперь остается заметить, что точка $Z$ лежит на радикальной оси двух полуокружностей а также прямая $AT$ является их радикальной осью. Значит точки $A$, $T$ и $Z$ лежат на одной прямой и $AZ$ перпендикулярно $BC$.

$MX=MK+KX=AN+MN=NY+MN=MY. $ Значить ZX=ZY, так как $(MXZY)$ вписанный. $Pow_{\omega_B}(Z)=Pow_{\omega_C}(Z)$ и все $Z$ лежит на рад. ось. $\omega_B$ и $\omega_C$