Районная олимпиада, 2011-2012 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Прямоугольный участок пола в помещении покрыт квадратной плиткой одинакового размера. На границе участка использовали плитку красного цвета, а внутри участка — зеленого. Понадобилось поровну плиток красного и зеленого цвета. Сколько всего плиток могло быть использовано?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Может ли десятичная запись факториала натурального числа оканчиваться одиннадцатью нулями? Напомним, что

$n!=1\cdot 2 \cdot 3 \dots\cdot n$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Докажите, что для любого натурального

$k\geq 6$ квадрат можно разбить на

$k$ квадратов (среди которых могут быть одинаковые).
комментарий/решение

Задача №4. Брат и сестра испекли пиццу в форме равностороннего треугольника. Сестра выбирает точку внутри треугольника, а брат делает прямой разрез, проходящий через эту точку, и берет себе понравившийся кусок. Какую точку должна выбрать сестра, чтобы гарантировать себе кусок максимально возможной площади?
комментарий/решение(2)

Задача №5. В зависимости от параметра

$a$ найдите число вещественных решений

$(x,y)$ системы

$\left\{ \begin{array}{rcl} |x|+|y| =1,\\ x^2 + y^2 = a.\\ \end{array} \right.$
комментарий/решение(1)

Задача №6. Вещественные числа

$c$ и

$d$ удовлетворяют системе уравнений

$\left\{ \begin{array}{rcl} c^3 - 3c^2 + 5c - 17 = 0,\\ d^3 - 3d^2 + 5d + 11 = 0.\\ \end{array} \right.$ Найдите сумму

$c+d$ .
комментарий/решение(1)