Районная олимпиада, 2011-2012 учебный год, 10 класс

Прямоугольный участок пола в помещении покрыт квадратной плиткой одинакового размера. На границе участка использовали плитку красного цвета, а внутри участка — зеленого. Понадобилось поровну плиток красного и зеленого цвета. Сколько всего плиток могло быть использовано?

Комментарий/решение

Раз красная плитка лежит на границе комнаты, то подразумевается, что это слой в одну плитку. Пусть $a,b$-длина и ширина зеленого прямоугольника. Тогда $ab =(a+2)(b+2)-ab$. Выразив $a$ из этого выражения, получаем $a=2+\dfrac {8}{b-2}$.учитывая то, что $a$-целое, то $b-2$ тоже целое. Получим $a=10;b=3;;a=6;b=4;;a=4;b=6;;a=3;b=10$, откуда количество плиток либо 60 либо 48