Математикадан аудандық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 10 сынып

Бөлменің тіктөртбұрыш пішіндес еденіне өлшемдері бірдей квадрат плиткалар төселген. Еденнің шеткі жиектері қызыл плиткалармен көмкеріліп, ал ішкі ауданы жасыл плиткалармен жабылған. Қолданылған қызыл және жасыл плиткалардың саны бірдей болса, барлығы қанша плитка төселген?

Комментарий/решение

Раз красная плитка лежит на границе комнаты, то подразумевается, что это слой в одну плитку. Пусть $a,b $-длина и ширина зеленого прямоугольника. Тогда $ab =(a+2)(b+2)-ab $. Выразив $a $ из этого выражения, получаем $a=2+\dfrac {8}{b-2} $.учитывая то, что $a $-целое, то $b-2$ тоже целое. Получим $a=10;b=3;;a=6;b=4;;a=4;b=6;;a=3;b=10$, откуда количество плиток либо 60 либо 48