Районная олимпиада, 2011-2012 учебный год, 10 класс

Может ли десятичная запись факториала натурального числа оканчиваться одиннадцатью нулями? Напомним, что $n!=1\cdot 2 \cdot 3 \dots\cdot n$.

Комментарий/решение

Берілген есепті "Кері жору" арқылы дəлелдейік.

Айталық, $ k!$ caны 11 нөлмен аяқталатын сан болсын делік. Бұл дегеніміз берілген сан $2^{11}\cdot 5^{11}$ санына қалдықсыз бөлінеді дегенді білдіреді. Ендігі қадам ретінде біз $k!$ cанын жай көбейткіштерге жіктейтін болсақ , жай көбейткіштердің ішінде 5 деген көбейткіштің саны 11 болатындай санды іздеп көрелік.

5-ке еселі сандарды қарастыралық: 5 ,10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, ...

Байқап тұрған сандардың ішінен $45!$ санын қарастыратын болсақ, $45!$ саны 10 нөлмен, ал келесі $ 50!$ саны 12 нөлмен аяқталады. Ал арасында қалып қойған 46, 47,48,49 сандарын ескермесек те болады.

Біздің кері жоруымыз қате, демек $ n!$ саны 11 нөлмен аяқталуы мүмкін емес.