Математикадан аудандық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 10 сынып

Оң бүтін санның факториалының ондық жазбасы дәл он бір нөлмен аяқталуы мүмкін бе? ($n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n$ екенін естеріңізге саламыз.)

Комментарий/решение

Берілген есепті "Кері жору" арқылы дəлелдейік.

Айталық, $k!$ caны 11 нөлмен аяқталатын сан болсын делік. Бұл дегеніміз берілген сан $2^{11}\cdot 5^{11}$ санына қалдықсыз бөлінеді дегенді білдіреді. Ендігі қадам ретінде біз $k!$ cанын жай көбейткіштерге жіктейтін болсақ , жай көбейткіштердің ішінде 5 деген көбейткіштің саны 11 болатындай санды іздеп көрелік.

5-ке еселі сандарды қарастыралық: 5 ,10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, ...

Байқап тұрған сандардың ішінен $45!$ санын қарастыратын болсақ, $45!$ саны 10 нөлмен, ал келесі $50!$ саны 12 нөлмен аяқталады. Ал арасында қалып қойған 46, 47,48,49 сандарын ескермесек те болады.

Біздің кері жоруымыз қате, демек $n!$ саны 11 нөлмен аяқталуы мүмкін емес.