Математикадан аудандық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. $\left( 1+x \right)\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{x}^{4}} \right)\cdots \left( 1+{{x}^{2048}} \right)$ көпмүшелер көбейтіндісін стандарттық түрде жазыңыз (яғни ${{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$ түрінде).
комментарий/решение(3)

Есеп №2. $ABCD$ шаршысының $AB$ қабырғасынан $AB~:AE=\sqrt{2}$ болатындай $E$ нүктесі алынған. $BED$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер, $B$ нүктесінен өтетін $BD$ түзуіне перпендикуляр түзуді $F$ нүктесінде қияды. $ABF$ үшбұрышы теңбүйірлі екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Дөңгелек пішінді аралдың жағалық сызығының бойында 2016 шамшырақ орналасқан. Ұқыпсыз шенеунік қарқынды қызмет істеп жүргенін көрсеткісі келіп, күнде тәуекелдеп үш қатар орналасқан немесе біреуден кейін орналасқан үш шамшырақтың күйін ауыстырады (яғни ABABA тізбегінде ол A шамшырақтарының күйін ауыстырады). Егер барлық шамшырақ өшіп қалса, онда шенеунік жұмысынан босатылады. Егер бір мезетте бір ғана шамшырақ жанбағаны оның есінде болса, оған өз орны үшін қорқу керек па? (Шамшырақтың күйін өзгерту деген, ол шамшырақ өшіп тұрса оны қосу, немесе керісінше.)
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Натурал санның квадратының бірлік цифрі 6 болса, онда осы квадраттың ондық цифрі тақ болатынын дәлелдеңіз, және кері тұжырымды дәлелдеңіз.
комментарий/решение(7)

Есеп №5. Біржақты қаласында әрдайым жол жұмыстары жүріп жатады. Әр айдың бірінші күні жол басқару қызметі қаланың кейбір көшелерін таңдап, ол көшелердің екінші бөлігін жөндеп, біржақты қозғалыс енгізеді, ал айдың соңында осы жолдарды қайтадан ашады. Барлық амалдарды қаланың ішіндегі кез келген екі қиылыстың арасында жол болып қалатындай жасайды. Әр 10 жыл сайын қаланың жолдық төсемі толығымен жаңартылатыны белгілі. Кез келген екі қиылыстың арасында жол болып қалатындай, бір уақытта қаланың әр көшесінде біржақты қозғалыс енгізуге болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №6. Бүкіл $x,y\in \mathbb{R}$, $y\ne 0$ үшін $yf\left( \dfrac{f\left( x \right)}{y}+1 \right)=x+f\left( y \right)$ қатынасын қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясын табыңыз.
комментарий/решение(1)