Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 10 класс

Докажите, что цифра единиц квадрата натурального числа равна 6 тогда и только тогда, когда цифра десятков квадрата нечетна.

Комментарий/решение

Число - четное и квадрат, значит делится на $4$. Число делится на $4$, если последние две цифры, образуют число, которое делится на $4$. Пусть предпоследняя цифра четная, тогда из последних двух цифр получим $\{06;\,26;\,46;\,66;\,86\}$, но ни одно из них не делится на $4$, значит предпоследняя цифра - нечетная.

Еще нужно обратное доказать!

б) пусть $r$ это последняя цифра числа $A$. Тогда $A=10k+r$, где $k$ нечетное. Тогда $k=2m+1$. Поэтому $A=20m+10+r$, следовательно число $10+r$ - это остаток числа А при делении на 20. Но квадраты натуральных чисел могут давать остатки: 0,1,4,5,9,16 (mod 20). Поэтому $10+r=16$ отсюда $r=6$.

Обратное чему? Признак делимости же.

То есть Теперь осталось доказать что если какойто квадрат имеет предпоследнюю цифру нечетную, то последняя цифра будет равна 6, то есть вам осталось рассмотреть случай когда квадрат нечетного числа.

Да, Вы правы, проглядел "тогда и только тогда". Спасибо за замечание.

b_Лемма:_b Число, образованное двумя последними цифрами числа, дает такой же остаток при делении на $4$, как и само число.

b_Доказательство:_b

$\square \quad \overline{a_n \ldots a_3a_2a_1} \equiv m \pmod{4}$

$100\overline{a_n \ldots a_3}+ \overline{a_2a_1}\equiv m \pmod{4}$

$\overline{a_2a_1}\equiv m \pmod{4}. \quad \blacksquare$

b_Лемма:_b Квадрат натурального числа при делении на $4$ дает в остатке $\{0;\,1\}$

b_Доказательство:_b

$\square \quad n \equiv \{0;\,1;\, 2;\, 3\} \pmod{4}$

$n^2 \equiv \{0^2;\,1^2;\, 2^2;\, 3^2\} \pmod{4}$

$n^2 \equiv \{0;\,1\} \pmod{4}. \quad \blacksquare$

b_Лемма:_b Квадрат натурального числа при делении на $10$ дает в остатке $\{0;\,1;\, 4;\, 5;\, 6;\, 9\}$

b_Доказательство:_b

$\square \quad n \equiv \{0;\,1;\, 2;\, 3;\, 4;\, 5;\, 6;\, 7;\, 8;\, 9\} \pmod{10}$

$n^2 \equiv \{0^2;\,1^2;\, 2^2;\, 3^2;\, 4^2;\, 5^2;\, 6^2;\, 7^2;\, 8^2;\, 9^2\} \pmod{10}$

$n^2 \equiv \{0;\,1;\, 4;\, 5;\, 6;\, 9\} \pmod{10}. \quad \blacksquare$

Пусть $n=\overline{a_2a_1}$ - число, образованное последними двумя цифрами числа. Так как цифра десятков нечетная, то $n = 4k+2+a_1$.

Если квадрат делится на 4, то $n \equiv 0 \pmod{4}$, откуда, с одной стороны, $a_1=\{2;\, 6\}$, с другой стороны $a \not = 2$, так как квадрат не может оканчиваться на $2$.

Если квадрат не делится на 4, то $n \equiv 1 \pmod{4}$, откуда, с одной стороны, $a_1=\{3;\, 7\}$, с другой стороны $a_1 \not =\{3;\, 7\}$, так как квадрат не может оканчиваться на $\{3;\, 7\}$.

Значит, последняя цифра квадрата $6$.

Понятно, спасибо за подробное доказательство