Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 10 класс

На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ выбрана точка $E$ так, что $AB~:AE=\sqrt{2}$. Описанная окружность треугольника $BED$ вторично пересекает прямую, проходящую через точку $B$ перпендикулярно $BD$, в точке $F$. Докажите, что треугольник $ABF$ равнобедренный.

Комментарий/решение

$$\angle EOD=2\angle EBD =\frac{\pi}{2}\Rightarrow$$

$$AE = x ,\quad EB=x(\sqrt{2}-1), \quad EO=R \Rightarrow ED^2=(x\sqrt{2})^2+x^2=R^2+R^2\Rightarrow$$

$$\Rightarrow R=\sqrt{\frac{3}{2}}x \Rightarrow BF=\sqrt{DF^2-BD^2}=\sqrt{4R^2 -4x^2}=x\sqrt{2}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow AB=BF$$