Математикадан аудандық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 10 сынып

$ABCD$ шаршысының $AB$ қабырғасынан $AB~:AE=\sqrt{2}$ болатындай $E$ нүктесі алынған. $BED$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер, $B$ нүктесінен өтетін $BD$ түзуіне перпендикуляр түзуді $F$ нүктесінде қияды. $ABF$ үшбұрышы теңбүйірлі екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$$\angle EOD=2\angle EBD =\frac{\pi}{2}\Rightarrow$$

$$AE = x ,\quad EB=x(\sqrt{2}-1), \quad EO=R \Rightarrow ED^2=(x\sqrt{2})^2+x^2=R^2+R^2\Rightarrow$$

$$\Rightarrow R=\sqrt{\frac{3}{2}}x \Rightarrow BF=\sqrt{DF^2-BD^2}=\sqrt{4R^2 -4x^2}=x\sqrt{2}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow AB=BF$$