Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2016-2017 учебный год, I тур дистанционного этапа

Задача №1. Какое наименьшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 20162016 так, чтобы результат делился на 2016 (ничего не вычёркивать нельзя)? Напоминаем, что надо не только привести пример, но и объяснить, почему меньшим количеством цифр обойтись нельзя.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Два велосипедиста ехали по шоссе, каждый со своей постоянной скоростью. Ока-залось, что более быстрый из них проезжает 6 км на 5 минут быстрее, а за 20 минут проезжает на 4 км больше, чем медленный. Найдите произведение скоростей велосипедистов, выраженных в километрах в час.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  В футбольном турнире, где каждая команда встречалась с каждой один раз, играли 16 команд. За победу давали три очка, за ничью — одно, за поражение — ноль. После окончания турнира выяснилось, что каждая команда выиграла хотя бы треть своих матчей и проиграла хотя бы треть своих матчей. Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точка $P$ такова, что $DOCP$ — тоже параллелограмм ($CD$ — его диагональ). Обозначим через $Q$ точку пересечения $BP$ и $AC$, а через $R$ — точку пересечения $DQ$ и $CP$. Докажите, что $PC=CR$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Существуют ли такие натуральные числа $m$, $n$, $k$, что все три числа $m^2+n+k$, $n^2+k+m$, $k^2+m+n$ являются квадратами натуральных чисел?
комментарий/решение(2)

---