Олимпиада имени Леонарда Эйлера2016-2017 учебный год, I тур дистанционного этапа

В футбольном турнире, где каждая команда встречалась с каждой один раз, играли 16 команд. За победу давали три очка, за ничью — одно, за поражение — ноль. После окончания турнира выяснилось, что каждая команда выиграла хотя бы треть своих матчей и проиграла хотя бы треть своих матчей. Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Каждая команда сыграла в чемпионате 15 матчей. По условию она не меньше пяти из них выиграла и не меньше пяти проиграла, поэтому набрала не меньше 15 и не больше 30 очков. При этом 29 очков ни одна команда набрать не могла. В самом деле, пусть такая команда есть.Тогда она должна была хотя бы раз сыграть вничью. Но в этом случае у неё максимум 9 побед, и она набрала не более $3\cdot9+1 = 29 $очков, ибо любая замена победы ничьей уменьшает число очков. Таким образом, у нас 16 команд и 15 возможных сумм баллов: 15, $\ldots$, 27, 28, 30, из чего и вытекает утверждение задачи.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Решение. Каждая команда сыграла в чемпионате 15 матчей. По условию она не меньше пяти из них выиграла и не меньше пяти проиграла, поэтому набрала не меньше 15 и не больше 30 очков. Тут 16 вариантов, и если никакие две команды не набрали поровну очков, то каждое количество очков от 15 до 30 набрала ровно одна команда, а всего они набрали $15+\ldots+30 = 360$ очков. Но 360 — это максимальное возможное общее число очков, которое получается, если все $16\cdot 15/2 = 120$ матчей турнира закончились чьей-либо победой. Однако, не все числа от 15 до 30 делятся на 3, поэтому в турнире были и ничьи, а тогда общая сумма очков должна быть меньше 360 — противоречие.