Математикадан аудандық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$2\sqrt{x}+\sqrt{1-4x}=1$ теңдеуін нақты сандар жиынында шешіңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$\left( a, 20 \right)=b$ ,

$\left( b, 15 \right)=c$ және

$\left( a, c \right)=5$ қатынастарын қанағаттандыратын барлық натурал

$\left( a, b, c \right)$ үштіктерін табыңыз. Мұнда

$\left( k, l \right)$

$k$ және

$l$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Қабырғасы 1-ге тең

$ABCD$ шаршысына сырттай сызылған шеңбердің

$BC$ доғасынан

$M$ нүктесі алынған.

$AM$ және

$BD$ кесінділері

$P$ нүктесінде, ал

$DM$ және

$AC$ кесінділері —

$Q$ нүктесінде қиылысады.

$APQD$ төртбұрышының ауданын табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Теріс емес

$x, y$ сандары

$x+y\le 1$ теңсіздігін қанағаттандырады.

$8xy\le 5x\left( 1-x \right)+5y\left( 1-y \right)$ теңсіздігін дәлелдеңіз. Теңдік қашан орындалады?
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

$ABCD$ дөңес төртбұрышында

$ABC$ ,

$BCD$ ,

$CDA$ және

$DAB$ үшбұрыштарының аудандары тең.

$ABCD$ — параллелограмм екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Тақтада

$11$ және

$13$ сандары жазылған. Бір жүрісте қандай да бір тақтада жазылған екі әр түрлі санның қосындысына тең санды жазуға болады. Бірнеше жүрістен кейін тақтада

$2015$ санын алуға болама?
комментарий/решение(2)