Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 10 класс

На доске записаны числа $11$ и $13$. За один ход можно дописать одно число, равное сумме каких-то двух уже записанных на доске различных чисел. Можно ли за несколько таких ходов получить число $2015$?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Да, можно.
Решение. Если каждый раз к первому числу последовательности прибавлять последнее, то в итоге получим число 2015, так как $2015=11 \cdot 182 +13$. Первое число последовательности это 11, поэтому если каждый раз будем выписывать новые числа последовательности, то они будут состоять из чисел: $$11+13, \quad 11\cdot2+13, \quad 11\cdot3 +13, \quad \ldots, \quad 11 \cdot182+13 = 2015.$$

$2015=13x+11y$

$13x=2015-11y$

$x=\frac{2015-11y}{13}$

$x=155-\frac{11y}{13}$

$y=13k$, тогда $x=155-11k$.После подставляем $k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14$

Тогда получится

y=13,x=144

y=26,x=133

y=39,x=122

y=52,x=111

y=65,x=100

y=78,x=89

y=91,x=78

y=104,x=67

y=117,x=56

y=130,x=45

y=143,x=34

y=156,x=23

y=169,x=12

y=182,x=1