Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Решите уравнение

$2\sqrt{x}+\sqrt{1-4x}=1$ в действительных числах.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Найдите все тройки натуральных чисел

$\left( a,~b,~c \right)$ , удовлетворяющие соотношениям

$\left( a,~20 \right)=b$ ,

$\left( b,~15 \right)=c$ и

$\left( a,~c \right)=5$ . Здесь

$\left( k,~l \right)$ обозначает наибольший общий делитель чисел

$k$ и

$l$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. На меньшей дуге

$BC$ окружности, описанной около квадрата

$ABCD$ со стороной

$1$ , выбрана точка

$M$ . Отрезки

$AM$ и

$BD$ пересекаются в точке

$P$ , а отрезки

$DM$ и

$AC$ — в точке

$Q$ . Найдите площадь четырехугольника

$APQD$ .
комментарий/решение(2)

Задача №4. Неотрицательные числа

$x,~y$ удовлетворяют неравенству

$x+y\le 1$ . Докажите, что

$8xy\le 5x\left( 1-x \right)+5y\left( 1-y \right)$ . Когда выполняется равенство?
комментарий/решение(2)

Задача №5. В выпуклом четырехугольнике

$ABCD$ площади треугольников

$ABC$ ,

$BCD$ ,

$CDA$ и

$DAB$ равны. Докажите, что

$ABCD$ — параллелограмм.
комментарий/решение(1)

Задача №6. На доске записаны числа

$11$ и

$13$ . За один ход можно дописать одно число, равное сумме каких-то двух уже записанных на доске различных чисел. Можно ли за несколько таких ходов получить число

$2015$ ?
комментарий/решение(2)