қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Решите уравнение $2\sqrt{x}+\sqrt{1-4x}=1$ в действительных числах.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Найдите все тройки натуральных чисел $\left( a,~b,~c \right)$, удовлетворяющие соотношениям $\left( a,~20 \right)=b$, $\left( b,~15 \right)=c$ и $\left( a,~c \right)=5$. Здесь $\left( k,~l \right)$ обозначает наибольший общий делитель чисел $k$ и $l$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. На меньшей дуге $BC$ окружности, описанной около квадрата $ABCD$ со стороной $1$, выбрана точка $M$. Отрезки $AM$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, а отрезки $DM$ и $AC$ — в точке $Q$. Найдите площадь четырехугольника $APQD$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Неотрицательные числа $x,~y$ удовлетворяют неравенству $x+y\le 1$. Докажите, что $8xy\le 5x\left( 1-x \right)+5y\left( 1-y \right)$. Когда выполняется равенство?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ площади треугольников $ABC$, $BCD$, $CDA$ и $DAB$ равны. Докажите, что $ABCD$ — параллелограмм.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. На доске записаны числа $11$ и $13$. За один ход можно дописать одно число, равное сумме каких-то двух уже записанных на доске различных чисел. Можно ли за несколько таких ходов получить число $2015$?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)