Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 10 класс

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ площади треугольников $ABC$, $BCD$, $CDA$ и $DAB$ равны. Докажите, что $ABCD$ — параллелограмм.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Для решения задачи достаточно показать, что противоположные стороны четырехугольника параллельны. Известно, что площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты. У треугольников $ABC$ и $DAB$ площади равны, и у них есть общая сторона $AB$. Поэтому расстояния от точек $C$ и $D$ до прямой $AB$ равны. Следовательно, $CD \parallel AB$. Аналогично, можно показать, что $BC \parallel AD$.