Решения: Республиканская олимпиада, Районный этап

Математикадан аудандық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 10 сынып

$ABCD$ дөңес төртбұрышында

$ABC$ ,

$BCD$ ,

$CDA$ және

$DAB$ үшбұрыштарының аудандары тең.

$ABCD$ — параллелограмм екенін дәлелдеңіз.

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Для решения задачи достаточно показать, что противоположные стороны четырехугольника параллельны. Известно, что площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты. У треугольников $ABC$ и $DAB$ площади равны, и у них есть общая сторона $AB$ . Поэтому расстояния от точек $C$ и $D$ до прямой $AB$ равны. Следовательно, $CD \parallel AB$ . Аналогично, можно показать, что $BC \parallel AD$ .