Математикадан аудандық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 10 сынып

$ABCD$ дөңес төртбұрышында $ABC$, $BCD$, $CDA$ және $DAB$ үшбұрыштарының аудандары тең. $ABCD$ — параллелограмм екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Для решения задачи достаточно показать, что противоположные стороны четырехугольника параллельны. Известно, что площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты. У треугольников $ABC$ и $DAB$ площади равны, и у них есть общая сторона $AB$. Поэтому расстояния от точек $C$ и $D$ до прямой $AB$ равны. Следовательно, $CD \parallel AB$. Аналогично, можно показать, что $BC \parallel AD$.