Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 10 класс

Неотрицательные числа $x,~y$ удовлетворяют неравенству $x+y\le 1$. Докажите, что $8xy\le 5x\left( 1-x \right)+5y\left( 1-y \right)$. Когда выполняется равенство?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Равенство достигается при $(x,\ y)=(0,\ 0)$, $(1,\ 0)$ или $(0, \ 1)$.
Решение. Из условия задачи следует неравенство $1-x \ge y$. Умножив это неравенство на $5x$, получим ${5x(1-x)} \ge 5xy$. Аналогично, ${5y(1-y)} \ge 5xy$. Сложив два последних неравенства, получим $$5x\left( 1-x \right)+5y\left( 1-y \right) \geq 10xy. \qquad (1)$$ Но $10xy$ не меньше чем $8xy$. Равенство выполняется при необходимом условии $8xy=10xy$, то есть $xy=0$. Но это выполняется, если одна из переменных $x$ или $y$ равна 0. Пусть $x=0$. Тогда $5y(1-y)=0$, то есть $y=0$ или $y=1$.

Теріс емес $x, y$ сандары $x + y \leq 1$ теңсізін қанағаттандырады.

\[8xy \leq 5x(1 - x) + 5y(1 - y)\]

теңсіздігін дәлелдеңіз. Теңдік қашан орындалады?

Дәлелдеуі: $(x+y)^2 \leq 1$ болады, сондықтан

\[4x^2 + 8xy + 4y^2 \leq 4 \implies 8xy \leq 4 - 4(x^2 + y^2)\]

немесе

\[8xy \leq 4(1 - (x^2 + y^2))\]

деп айтуымыз, сондықтан

\[8xy < 5(1 - (x^2 + y^2))\]

болады. $x + y \leq 1$ болғандықтан,

\[8xy \leq 5((x+y) - (x^2 + y^2))\]

деп айтуымыз, яғни

\[8xy \leq 5x(1 - x) + 5y(1 - y)\].

Егер $x = 1, y = 0$ немесе $x = 0, y = 1$ болса, теңдік орындалады.