Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 10 сынып


Теріс емес x,y сандары x+y1 теңсіздігін қанағаттандырады. 8xy5x(1x)+5y(1y) теңсіздігін дәлелдеңіз. Теңдік қашан орындалады?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Равенство достигается при (x, y)=(0, 0), (1, 0) или (0, 1).
Решение. Из условия задачи следует неравенство 1xy. Умножив это неравенство на 5x, получим 5x(1x)5xy. Аналогично, 5y(1y)5xy. Сложив два последних неравенства, получим 5x(1x)+5y(1y)10xy.(1) Но 10xy не меньше чем 8xy. Равенство выполняется при необходимом условии 8xy=10xy, то есть xy=0. Но это выполняется, если одна из переменных x или y равна 0. Пусть x=0. Тогда 5y(1y)=0, то есть y=0 или y=1.

  3
1 года 2 месяца назад #

Теріс емес x,y сандары x+y1 теңсізін қанағаттандырады.

8xy5x(1x)+5y(1y)

теңсіздігін дәлелдеңіз. Теңдік қашан орындалады?

Дәлелдеуі: (x+y)21 болады, сондықтан

4x2+8xy+4y248xy44(x2+y2)

немесе

8xy4(1(x2+y2))

деп айтуымыз, сондықтан

8xy<5(1(x2+y2))

болады. x+y1 болғандықтан,

8xy5((x+y)(x2+y2))

деп айтуымыз, яғни

8xy5x(1x)+5y(1y).

Егер x=1,y=0 немесе x=0,y=1 болса, теңдік орындалады.