Математикадан аудандық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 10 сынып
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Ответ. Равенство достигается при (x, y)=(0, 0), (1, 0) или (0, 1).
Решение. Из условия задачи следует неравенство 1−x≥y. Умножив это неравенство на 5x, получим 5x(1−x)≥5xy. Аналогично, 5y(1−y)≥5xy. Сложив два последних неравенства, получим
5x(1−x)+5y(1−y)≥10xy.(1)
Но 10xy не меньше чем 8xy.
Равенство выполняется при необходимом условии 8xy=10xy, то есть xy=0. Но это выполняется, если одна из переменных x или y равна 0. Пусть x=0. Тогда 5y(1−y)=0, то есть y=0 или y=1.
Теріс емес x,y сандары x+y≤1 теңсізін қанағаттандырады.
8xy≤5x(1−x)+5y(1−y)
теңсіздігін дәлелдеңіз. Теңдік қашан орындалады?
Дәлелдеуі: (x+y)2≤1 болады, сондықтан
4x2+8xy+4y2≤4⟹8xy≤4−4(x2+y2)
немесе
8xy≤4(1−(x2+y2))
деп айтуымыз, сондықтан
8xy<5(1−(x2+y2))
болады. x+y≤1 болғандықтан,
8xy≤5((x+y)−(x2+y2))
деп айтуымыз, яғни
8xy≤5x(1−x)+5y(1−y).
Егер x=1,y=0 немесе x=0,y=1 болса, теңдік орындалады.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.