Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2003 год

Задача №1. Прямоугольник $2003\times 2004$ разбит на единичные квадраты. Рассмотрим ромбы, ограниченные четырьмя диагоналями единичных квадратов. Какое наибольшее количество таких ромбов, никакие два из которых не имеют общих точек, отличных от вершин, можно разместить в этом прямоугольнике?
комментарий/решение

Задача №2. Найдите все натуральные $x$, для которых $3x+1$ и $6x-2$ — точные квадраты, а число $6x^2-1$ — простое.
комментарий/решение(4)

Задача №3. В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности, точка $O$ — центр описанной окружности и точка $I_a$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Точка $A'$ симметрична вершине $A$ относительно прямой $BC$. Докажите, что $\angle IOI_a=\angle IA'I_a$.
комментарий/решение

Задача №4. Натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ удовлетворяют условию $1/a_1 + 1/a_2 + \ldots + 1/a_n = 1$. Докажите, что все эти числа не превосходят $n^{2^n}$.
комментарий/решение

Задача №5. Докажите, что для любых вещественных $x$ и $y$ неравенство $ x^2\sqrt{\mathstrut 1+2y^2}+y^2\sqrt{\mathstrut 1+2x^2} \geq xy(x+y+\sqrt{\mathstrut 2}) .$
комментарий/решение(1)

Задача №6. По окружности расставлены в некотором порядке числа от 1 до 100. Назовем пару чисел {\it хорошей}, если эти два числа не стоят рядом, и хотя бы на одной из двух дуг, на которые они разбивают окружность, все числа меньше каждого из них. Чему может равняться общее количество хороших пар?
комментарий/решение

Задача №7. Через точку $K$, лежащую вне окружности $\omega$, проведены касательные $KB$ и $KD$ к этой окружности ($B$ и $D$ — точки касания) и прямая, пересекающая окружность в точках $A$ и $C$. Биссектриса угла $ABC$ пересекает отрезок $AC$ в точке $E$ и окружность $\omega$ в точке $F$. Докажите, что $\angle FDE=90^\circ$.
комментарий/решение(2)

Задача №8. На вечеринку пришли несколько человек. Докажите, что их можно разместить в двух комнатах так, чтобы у каждого из них в своей комнате имелось четное число знакомых. (Одну из комнат можно оставить пустой.)
комментарий/решение