Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2003 год

Докажите, что для любых вещественных $x$ и $y$ неравенство $x^2\sqrt{\mathstrut 1+2y^2}+y^2\sqrt{\mathstrut 1+2x^2} \geq xy(x+y+\sqrt{\mathstrut 2}) .$

Комментарий/решение

$$\blacktriangleright x^2\sqrt{1+2y^2}+y^2\sqrt{1+2x^2}\geq xy(x+y+\sqrt{2})$$

$$\mathbb{S}_{квадр.}\geq \mathbb{S}_{арифм.}\Rightarrow$$

$$\left\{ \begin{gathered} \sqrt{1+2y^2}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+y \\ \sqrt{1+2x^2}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+x \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow$$

$$\Rightarrow x^2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+y\right)+y^2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+x\right)=x^2y+y^2x+\sqrt{2}\left(\underbrace{\frac{x^2+y^2}{2}}\right)\geq x^2y+y^2x+\sqrt{2}xy=$$

$$=xy(x+y+\sqrt{2})\blacksquare$$