Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2003 год

Задача №1. Прямоугольник

$2003\times 2004$ разбит на единичные квадраты. Рассмотрим ромбы, ограниченные четырьмя диагоналями единичных квадратов. Какое наибольшее количество таких ромбов, никакие два из которых не имеют общих точек, отличных от вершин, можно разместить в этом прямоугольнике?
комментарий/решение

Задача №2. Найдите все натуральные

$x$ , для которых

$3x+1$ и

$6x-2$ — точные квадраты, а число

$6x^2-1$ — простое.
комментарий/решение(4)

Задача №3. В остроугольном треугольнике

$ABC$ точка

$I$ — центр вписанной окружности, точка

$O$ — центр описанной окружности и точка

$I_a$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны

$BC$ и продолжений сторон

$AB$ и

$AC$ . Точка

$A'$ симметрична вершине

$A$ относительно прямой

$BC$ . Докажите, что

$\angle IOI_a=\angle IA'I_a$ .
комментарий/решение

Задача №4. Натуральные числа

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\dots$ ,

$a_n$ удовлетворяют условию

$1/a_1 + 1/a_2 + \ldots + 1/a_n = 1$ . Докажите, что все эти числа не превосходят

$n^{2^n}$ .
комментарий/решение

Задача №5. Докажите, что для любых вещественных

$x$ и

$y$ неравенство

$x^2\sqrt{\mathstrut 1+2y^2}+y^2\sqrt{\mathstrut 1+2x^2} \geq xy(x+y+\sqrt{\mathstrut 2}) .$
комментарий/решение(1)

Задача №6. По окружности расставлены в некотором порядке числа от 1 до 100. Назовем пару чисел {\it хорошей}, если эти два числа не стоят рядом, и хотя бы на одной из двух дуг, на которые они разбивают окружность, все числа меньше каждого из них. Чему может равняться общее количество хороших пар?
комментарий/решение

Задача №7. Через точку

$K$ , лежащую вне окружности

$\omega$ , проведены касательные

$KB$ и

$KD$ к этой окружности (

$B$ и

$D$ — точки касания) и прямая, пересекающая окружность в точках

$A$ и

$C$ . Биссектриса угла

$ABC$ пересекает отрезок

$AC$ в точке

$E$ и окружность

$\omega$ в точке

$F$ . Докажите, что

$\angle FDE=90^\circ$ .
комментарий/решение(2)

Задача №8. На вечеринку пришли несколько человек. Докажите, что их можно разместить в двух комнатах так, чтобы у каждого из них в своей комнате имелось четное число знакомых. (Одну из комнат можно оставить пустой.)
комментарий/решение